文档介绍：章节题目
第四节三重积分的概念和计算方法
内容提要
三重积分的定义、计算
重点分析
三重积分的计算
难点分析
化三重积分为三次积分时积分限的确定
习题布置
2、5、7
备注
教学内容
一、三重积分的定义
设是空间有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成个小闭区域,,,其中表示第个小闭区域,也表示它的体积, 在每个上任取一点作乘积,,并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数在闭区域上的三重积分,记为,
即.
三重积记为.
二、三重积分的计算
直角坐标系中将三重积分化为三次积分.
如图,
g
得

注意
例1 化三重积分为三次积分,其中积分区域为由曲面及所围成的闭区域.
解由,得交线投影区域
故: ,
例2、化三重积分为三次积分,其中积分区域为由曲面,,, ,
解
.
例3 将按的次序积分.
解
:
:
.
截面法的一般步骤:
把积分区域向某轴(例如轴)投影,得投影区间;
对用过轴且平行平面的平面去截,得截面;
计算二重积分其结果为的函数;
(4) 最后计算单积分即得三重积分值.
例4 计算三重积分,其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.
解(一)
原式.
解(二)
.
例5 计算三重积分,其中是由椭球面所成的空间闭区域.
解

原式
原式
例6 计算三重积分,其中由曲面,,所围成.
解如图,
将投影到平面得
,
先对积分,再求上二重积分,

三、小结
三重积分的定义和计算(计算时将三重积分化为三次积分)
在直角坐标系下的体积元素
思考题
选择题:
为六个平面,,,,,围成的区域,在上连续,则累次积分____ .
思考题解答
选(D)