文档介绍：1
傅里叶级数
周期函数f(t)的三角级数展开,要满足如下条件:
狄里赫利条件:函数在一个周期内有有限个极值点和第一类间断点
二维Fourier变换
2
周期函数也可以展开成指数傅里叶级数形式
Cn是频率v的复函数,称为频率函数,由于周期函数中,只包含0, 等频率分量,频率的取值是离散的,所以周期函数只有离散谱。没有连续谱。
3
是离散求和的形式,表明:
一个随时间或空间变化的周期函数(信号)f(x),可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠加。各简谐波分量的频率为u,u=nu, 是离散的; 取值为0, ±u, ± 2u, ± 3u,…; u=0为直流分量,±u 为基频,其余为高次谐波分量。
exp(j2πux) 是其中的某一简谐波成分;或(an, bn) 是该简谐波成分的权重,它是频率u的函数,称之为的傅立叶频谱(简称频谱) ——Fourier Spectrum.
4
周期为的矩形波函数,在一个周期内的解析式为
5
6
傅立叶积分(Fourier integral)及傅立叶变换(Fourier transform)
若函数f(x,y)在整个无限xy平面上满足狄里赫利条件,且绝对可积,f(x,y)可用叠加积分表示成:
7
是连续求和,是叠加积分;表明:
一个随时间或空间变化的非周期函数(信号),可以看作是许多不同频率的基元简谐波信号的叠加积分。各简谐波分量的频率为u,频率的取值是连续分布的。
Exp[j2π(ux+vy)]是其中某一简谐波成分;F(u,v)是该简谐波成分的权重,它是频率u的函数,称之为的傅立叶频谱(Fourier Spectrum),简称频谱。
8
函数g(x,y)和他的傅立叶变换构成一个傅立叶变换对,表示为:
函数g(x,y) 的傅立叶变换
函数G(u,v)的逆傅立叶变换
9
在电信号处理、通信中,一般是1D时间信号,经常用到一维傅立叶级数和傅立叶变换。
在光学中,多数情况下研究的对象是2D或3D图像处理或成像,一般是二维或三维空间分布(可表示为二维或三维空间函数)。
10
(2)傅里叶变换的存在条件
要保证函数存在二维傅里叶变换对,函数就应该满足狄里赫利条件和绝对可积条件,这个条件是从纯数学的角度来考虑的,是数学理论研究的范畴,信息光学来说,应该从应用的观点来考虑:
在应用傅里叶变换的各个领域的大量事实表明,作为时间或空间函数而实际存在的物理量,总具备保证其傅里叶变换存在的基本条件。从应用的角度看,可以认为,傅里叶变换实际上总是存在的。
在应用问题中,也会遇到一些理想化的函数,如常数函数、阶跃函数等光学领域中常用的函数,但是他们不满足保证其傅里叶变换存在的充分条件;同时他们在物理上也不能够严格实现,对这类数学难以讨论其经典意义下的傅里叶变换。但是可以借助函数序列极限概念得到这类函数的广义傅里叶变换。
物理上所用到的函数总存在FT