文档介绍：第四章一些数学概念和结论本章介绍关于有限元方法的一些数学概念和结论,目的在于使读者对于有限元解的收敛性以及单元精度问题能有确切的了解。以后各章的内容在本章提供的基础之上进行。对于有限元方法的数学研究,目前已进行得相当充分,对这方面有兴趣的读者可进一步查阅有关的专著。πP本章介绍的主要对象是函数:真实解是一个函数;基函数是一组函数;试探函数是某一类函数,有限元解是这类函数中使 取驻值(最小值)的那一个函数。下面讨论中的“元素”实际指的就是函数,“空间”实际指的就是某种函数的集合,即函数空间。§4-1线性空间(向量空间)1、线性空间的定义满足下列条件的空间E为线性空间(1)x,y,zE有如下“加法”运算(i)(ii)(iii)存在“零元素”?θ?ExE有(iv)xE存在逆元素-xE使(2)设E中的元素与实数域的元素有“数乘”运算,即x,yE,α,βK(实数域)(i)(ii)(iii)(iv)若K为实数域则E称为实线性空间,K为复数域则E称为复线性空间。例1 C[a,b]若  、  是[a,b]上的连续函数,则    也是[a,b]上的连续函数。故定义在[a,b]上的所有连续函数组成一个线性空间。记作C[a,b]。例2 L2(a,b)若  、  是(a,b)上平方可积的函数,即  ,存在,则所以     也是(a,b)上平方可积的函数。所有(a,b)上平方可积的函数组成一个线性空间,记作L2 (a,b) 。例3 C1[a,b]若   、  、 、 在[a,b]上连续,则也在(a,b)上连续。所有函数本身及一阶导数都在(a,b)上连续的函数组成一种线性空间,记作C1[a,b]。例4 Rn n维欧氏空间是线性空间,R2(二维平面),R3(三维空间)是n维欧氏空间的特例。例5 Pn(x)[a,b]定义在[a,b]上的n次多项式Pn(x)[a,b]C[a,b]  构成线性空间。2、线性空间的维数(1)线性相关与线性无关设        为线性空间E的n个元素(i)若存在不全为零的常数1、2…n使得则称    线性相关;(ii)若  仅当才成立,则称      线性无关。(2)线性空间的维数若线性空间E满足(i)任意n+1个元素一定线性相关。(ii)存在着n个线性无关的元素。则称线性空间E的维数为n。例1 若      线性无关,则所有形式为  的试探函数组成n维线性空间。而所有形式为的位移场则组成2n维线性空间。例2 由于可以找出任意多个线性无关的连续函数(例如:1         ),     所以C空间为无限维线性空间。L2空间也是无限维线性空间。3、线性空间的模(范数)(1)模的定义当线性空间E中的任意一个元素x可用一个非负实数与之对应,记作‖x‖(表示“大小”或“长度”)称为E空间为模线性空间或赋范线性空间,实数‖x‖称为模或范数。模的性质如下:(i)‖x‖≥0,仅当x≡0时‖x‖=0(ii)对任一常数α有‖αx‖=∣α∣?‖x‖(iii)对任意 x、y∈E 有‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ (此式又称三角不等式)。只要满足这些要求,均可作为一种模的定义。‖x‖描述了元素x的“大小”,‖x-y‖  则描述了两个元素x、y之间的“距离”。设真实解为u,有限元解为uh,如果当网格无限细分时有‖u-uh‖→0,则说明有限元解收敛于真实解。模的定义不同,收敛的意义也不同。例1 在平面R2内,向量x(x1,x2)可以有下列三种模的定义例2 设x,yE则,x-y的模可以表示这两个元素的“接近程度”,若在R2空间中的两个元素,x(1,1), y(2,4) 可以有如下模的定义可见模的定义不同,其意义不同, 在实数域内,模与绝对值是等价的。(2)两种常用的模下面是最常见、也是具有代表性的两种模①一致模若u∈C[a,b],则u必在[a,b]上取到最大值和最小值,故可按如下方式定义一致模‖u‖∞。②L2模 若u∈L2(a,b) 则存在,可以按如下方式定义L2模显然按一致模收敛是一致收敛,按L2模收敛则是平均收敛。对于有限维空间,不同类型的模是等价的。即对某种模成立的结论,对另一种模也成立。而对于无限维空间则未必如此。§4-2内积空间内积空间扩展了向量点积和正交的概念。1、内积对于线性空间E的每一对元素u、v定义一个确定的实数与之对应,称为u、v的内积,记作(u、v),且满足(i) (u、v)=(v、u)   (对称性)(ii)对任一常数α有(αu,v)=α(u,v) (齐次性)(iii)对于u1、u2、v∈E 有(u1+u2,v)=(u1,v)+(u2,v)   (可加性)(iv) (u,u)≥0 仅当u≡0时(u,u)=0。定义了内积的线性空间称为内积空间。例 u(x),v(x)C2[a,b]至少存在以下四种形式的内积其中是[a,b]上的给定函数。2、内积