文档介绍：幂级数解法—本征值问题第十一章王建东沙河校区计算机楼东******@、分离变量法求解偏微分方程:2可直接求解可直接求解对第3个方程作变量替换为为l阶连带勒让德方程,不可直接求解3若讨论问题具有旋转轴对称性,即m=0为l阶勒让德方程,:(1)若μ>0,作变换为m贝塞尔方程,不可直接求解μ=0可直接求解5(2)若μ<0,作变换为虚宗量贝塞尔方程,不可直接求解…………………………..6用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离,就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量,还会出现各种各样的特殊函数方程,它们大多是二阶线性常微分方程。这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题。不失一般性,我们讨论复变函数ω(z)的线性二阶常微分方程:()7这里z是复变量,p(z)和q(z)是已知的复变函数,称为方程的系数,ω(z)是待求的未知函数,z0为选定的点,C0和C1为复常数。这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出,但可用幂级数解法解出。幂级数解法求解二阶常微分方程的具体过程为:(1)任选某个点z0,在其邻域上把待求的解表为系数待定的幂级数;8(2)将这个幂级数形式解代入方程和定解条件,求出所有待定幂级数系数。(2)既然是级数,就存在是否收敛和收敛范围的问题;说明:级数解法是一个比较普遍的方法,对方程无特殊的要求;(3)级数解法的计算较为繁琐,要求耐心和细心。9二、()的系数p(z)和q(z)都在点z0及其邻域内解析,则称点z0为方程()的常点。(z)和q(z)之一在点z0不解析,则称点z0为方程()的奇点。(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解析,则称点z0为方程()的正则奇点,否则称为方程的非正则奇点。10