1.6 泛函分析.ppt.ppt

文档介绍：度量空间内积空间基本概念:共轭双线性函数、内积、内积空间), ((),(),()()( 1XyxxyayxaXxRxq aq Xa???????那么诱导的二次型, 是由上的共轭双线性函数, 是设命题),(),( ),(),(),(),(, ),(),(),(),( ,),(),(,)()( ),( )(),(),()( ),(),(),(),(),()( ,)()( )()() ((),(),( 1 1 1 1yxayxa xyayxaxyayxaX iyx xyayxaxyayxa RxyayxaRyqxqyxq yqxyayxaxq yyaxyayxaxxayxyxayxq XyxXxRxq XxRxqXxxxaxxa???????????????????????????????????????两式相减, 得同理,对所以所以, 因为,所以,对”因为“,显然”证:“),,,( ),,,,( ),(),( );,(),( , 21 21 1 1n n n ni ii n ni ii nnyyyyxxxx CyxyxyxRyxyxyx CR??????????????其中内积分别定义为都是内积空间,它们的例2 21 21 1 2),,,( ),,,,( ),( yxyx l n n i ii???????????, , 其中, 内积空间是内积空间,规定例),(, ,)()(),(),( 2 2???????? Lvu dx xvxuvu L 其中是内积空间,规定内积例线性相关时成立与而且其中等号当且仅当则有若令是内积空间设不等式命题 yx XyxyxyxXxxxx X Schwarz Cauchy ),,(),( ),(),( , )),(,() ( 2/1??????????线性相关时成立与仅当而且其中等号当且那么且诱导的二次型,如果是由上的共轭双线性函数, 是线性空间设命题 yx Xyxyqxqyxa xxqXxxq a xq X a ),,( )]()([),( 0)()(0)( )( 2/1?????????? 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , )( ( ) 0 ) ( ) y y K q x y q x a x y a y x q y a x y a x y a y x q x q y ?? ?? ?????? ??? ??????? ??证:当时,显然成立当时,考查取,因为由假定,用)( .)( ),( )]()([),( 0)( ),()( ),(2)( 2/1 22Kyx Kyx Xyxyqxqyxa yq yxayq yxaxq????????????????立,则反之,若上式中等号成时,上式中等号成立又当,由此得所以空间定义范数,是一个按内积空间命题* ),( )),(,(10 . 2/1 B xxxX???xxxxxx yxyxyxyyxx yyxyyxxxyxyxyx xxx xxx????????????????????????????????? 2/1 2/1 2 2 2 2 2/1),(),()3( ,)(2 ),(),(),(),(),()2( 00)1( ),( 所以且定义的是范数, 证:只须证按的连续函数关于范数上是中,内积在内积空间命题????XXyxX),( )),(,( )(0 ),(),(),(),(),(),( ,,?????????????????????nyyxxxM yyxyxx yxyxyxyxyxyx M yxyyxxn n n nn nnnn nn nn nn 的一个上界,便有表示它们有界,用和那么证:设空间是严格凸的内积空间命题* )),(,(12 . X??1 ))1(()1(), Re( )1(2 ))1(,)1(()1( ,,1,10 2 22 22 2???????????????????????????????????yyx x yxyxyx yxyx由当证: ), )((2 ,),()( ),(*13 . 2222 2/1Xyxyxyxyx xxx X XB????????????平行四边形等式: 满足如下必须且仅须范数适合, 内积上可引入一个中,为了在空间在命题基本概念: Hilbert 空间的常数及是依赖于区域其中有那么的某邻域当即的函数集合, 为的某邻域内次连续可微,并在边界上一切表示有界的开区域设不等式引理 m C dx xuCdx xu Cu xxuCuC m