文档介绍：:(1);解根据施密特正交化方法,,,.(2).解根据施密特正交化方法,,,.:(1);解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵.(2).解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,,xTx=1,令H=E-2xxT,=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT,=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,,,B是n阶正交阵,故A-1=AT,B-1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,:(1);解,故A的特征值为l=-1(三重).对于特征值l=-1,由,得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值l=-1的特征值向量.(2);解,故A的特征值为l1=0,l2=-1,l3==0,由,得方程Ax=0的基础解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是对应于特征值l1==-1,由,得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是对应于特征值l2=-=9,由,得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T,向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量.(3).(和书后答案不同,以书后为主,但解题步骤可以参考)解,故A的特征值为l1=l2=-1,l3=l4==l2=-1,由,得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,0,0,-1)T,p2=(0,1,-1,0)T,向量p1和p2是对应于特征值l1=l2=-=l4=1,由,得方程(A-E)x=0的基础解系p3=(1,0,0,1)T,p4=(0,1,1,0)T,向量p3和p4是对应于特征值l3=l4=,|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT与A的特征多项式相同,、B满足R(A)+R(B)<n,证明A与B有公共的特征值,(A)=r,R(B)=t,则r+t<,a2,×××,an-r是齐次方程组Ax=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值l=,设b1,b2,×××,bn-t是齐次方程组Bx=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值l=(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,×××,an-r,b1,b2,×××,bn-,k2,×××,kn-r,l1,l2,×××,ln-t,使k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r+l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r==k1a1+k2a2+×××+kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r),则k1,k2,×××,kn-r不全为0,否则l1,l2,×××,ln-t不全为0,而l1b1+l2b2+×××+ln-rbn-r=0,与b1,b2,×××,bn-,g¹0,g是A的也是B的关于l=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,-3A+2E=O,,x是A的对应于l的特征向量,则(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=¹0,所以l2-3l+2=0,即l是方程l2-3l+2=0的根,也就是说l=1或l=,且|A|=-1,证明l=-,所以A的特征值为-1或1.(需要说明)因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即l=-¹0是m阶矩阵Am´nBn´m的特征值,¹0的特征向量,则有(AB)x=lx,于是B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),从而l是BA的特征值,