文档介绍：第三章一维射影几何学
§ 点列与线束
维的概念:平面内的点与直线都有两个坐标,平面内的点几
何学和线几何学都是二维的。
点列:动点在一条直线上移动产生的图形称为点列。那条定直线称为点列的底,设,
为定直线上二点, 为点列的动点,则:
定义1
定义2 线束:动直线绕一个定点旋转所产生的图形称为线束。
那个定点称为线束的心。
A
B
C
x =u a +v b
设
为过定点的直线
为线束的动直线,则
由代数知识,必有数
使得
所以,点列上任意一点M的坐标可表为:
的形式,当时, 可表为

§
定义:设A、B、C、D为共线的四点,把定义为这四点
(有向线段,而非距离)
交比可由简比求得
定理1 :设取A和B为基点,将这四点的齐次坐标顺序表达为:
则
按顺序点列的交比,用符号来记
定理2: 设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为P+
推论:设点列四点A、B、C、D的齐次坐标是
则
点列的交比与四点的排列的顺序有关,四点在一直线上有4!=24种排
列,故有24种交比。这24种交比不是彼此不同的,可以分为六种不同的组别,每组的值是相同的。
定理3:在点列的交比中将某两点互换,同时互换其余两点,则交比值不变。
定理4:只限于一对点之间的交换,则交比值转变为其倒数
定理5:交换中间两点,则交比值转变为1与原值之差
则
由定理3~定理5可知:24个交比一般取六个不同的数值:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
讨论三种特殊情况:
令
令
若
(1)当
六组交比值分别为;1,1,0,
当
六组交比值分别为:
(2)当六组交比值分别为-1,-1,2,
六组交比值分别为
六组交比值分别为
(3)
第一种情况
时则
若非点A与B重合,
四点中也只当某两点重合时,六个交比值才能有等于
第二种情况
说明C点分割线段AB 的值与D点分割线段AB的值只差一个符号,一个是内分点,一个是内外分点
定义3:当
时,则称C,D两点调和分割A,B两点
或者称为A,B两点所成的点偶与C,D两点所成的点偶
成调和共轭
例1:三角形的内角平分线与外角平分线
定理6:设
0为CD的中点,则
例1:已知点A(1,4,1),B(0,1,1),C(2,3,-3)在一
条直线上,试求在这条直线上的第四点D的齐次坐标,使交比
(AB,CD)=-4
解:将A,B两点取为基点,C点表为A,B两点的线性组合
A
B
C
D
E
∴
作业:
1,4,5,6