文档介绍：例析三维几何与二维几何性质的相似性
陈序钿
在学****立体(三维)几何时,我们都会发现立体几何的定理和平面(二维)几何中的定理有着明显的相似性。例如,在立体几何里,过平面外一点,有且仅有一平面跟它平行。而在平面几何里有相似的定理:过直线外一点,有且仅有一直线跟它平行。虽然立体几何的定理性质比平面几何相应的定理性质复杂得多,但它们许多都基于相应的平面定理性质。这就启发我们,能从一些二维几何的定理性质推出在三维几何中相似的命题,在许多场合可以把三维几何的定理性质看成是二维几何定理性质的拓广。在解决三维几何问题时,可以转化到我们比较熟悉的二维(甚至一维)几何来寻找解决问题的方法。
一
在研究三维几何和二维几何性质的相似性时,我们可以把三维几何的一些几何体看成是二维几何一些几何体的推广。比如,空间中的四面体与平面中三角形相对应;空间中的平行六面体与平面中平行四边形相对应;空间中的球与平面中圆相对应;这些几何体性质有许多相似的地方。下面通过这三组几何体来研究三维几何和二维几何性质的相似性,由二维几何的性质推出三维空间的一些相应的性质。
[一] 在二维几何中,我们知道三角形有这样的性质:三角形的任意两边之和大于第三边。那么,在三维几何中其对应的几何体——四面体是否有类似的性质呢?
我们来考虑一下四面体S-ABC。
首先定义:从一点S顺次引出不共面的若干条射线SA、SB、SC、…、SK、SL,以及相邻两条射线所成角如的内部所成的图形叫做多面角,记作S-ABC…KL。相邻两射线组成的角叫做多面角的面角。(图1)
那么,对于四面体S-ABC,在三面角S-ABC中,假设是三个面角中最大的一个,我们有这样的性质:。
下面我们来证明这个性质。

图1 图2
如图2,在的内部作射线SD,使,并取SD=SB,再过D作直线与两边交于A、C,则
≌,AD=AB。
在⊿ABC中,BC>AC-AB=AC-AD=DC。
在⊿SBC和⊿SDC中,SB=SD,SC=SC,BC>DC,
所以。
因此于是我们有这样的定理:三面角的任意两个面角的和,大于第三个面角。这与二维几何中“三角形的任意两边之和大于第三边”有着明显的相似性。
[二] 二维几何中,关于平行四边形有这样的定理:平行四边形的对角线被它们的交点平分。那么我们能否在三维几何中得出这样的命题:平行六面体所有的对角线相交于一点且被该点平分。
下面我们来证明这个命题。
图3
已知:六面体ABCD-EFGH是平行六面体,AG、BH、CE、DF是它的对角线(如图3)。
求证:AG、BH、CE、DF相交于点O,且被O平分。
证明:连接BD、FH。
在平行六面体ABCD-EFGH中,BF∥DH且BF=DH,所以在平行四边形BDHF中对角线BH、DF相交于点O且被O平分。连接AC、EG分别交BD、FH于点M、N。
在平行四边形ABCD中M平分BD、AC,在平行四边形EFGH中N平分FH、EG。
故MN是平行四边形BDHF的中线,则O平分MN。
设对角线AG、CE交于点O’,同理,在平行四边形AEGC中,O’平分AG、CE。
又因为M、N分别是AC、EG的中点,则MN是平行四边形AEGC的中线,故O’平分MN。
所以O’与O点重合。
故命题得证。
于是我们在三维几何里得到:平行六面体