文档介绍：几何变换
黄浦区教研室数学教研员李建国
在几何的解题中,当题目给出的条件显得不够或者不明显时,我们可以将图形作一定的变换,这样将有利于发现问题的隐含条件,抓住问题的关键和实质,使问题得以突破,,它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想,很好地领会这种解题的思想实质,并能准确合理地使用,在解题中会收到奇效,也将有效地提高思维品质.
初中图形变换包含平移、翻折和旋转,我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质,在图形的运动中找到不变量,然后解决问题。
一、翻折变换
内容提要:翻折变换是平面到自身的变换,若存在一条定直线l,使对于平面上的每一点P及其对应点P′,其连线PP′都被定直线l垂直平分,则称这种变换为翻折变换,:
(1)把图形变为与之全等的图形;
(2)关于l对称的两点连线被l垂直平分.
证题过程中使用翻折变换,可保留原有图形的性质,且使原来分散条件相对集中,以利于问题的解决.
已知D为等边△ABC内一点,且DB=DA,P为形外一点,且BP=AB,∠DBP=∠DBC(如图12-1).求∠BPD.
思路分析: 设法把∠BPD变换为正三角形内的特殊角,问题可获解.
由BD平分∠PBC知直线BD是∠PBC的对称轴,作翻折变换可得∠BPD=∠△ABC的对称轴,于是∠BCD=∠ACD=30°,即∠BPD=30°.
例2. 如图12-3所示,.
思路分析: 结论即为证≥⊙⊙O的直径,作⊙O直径CD∥AB, 必定与CD相交于两点(否则,与假设将⊙O分为两等积部分矛盾).作B关于CD的对称点B′,连AB′,可知BB′⊥AB,则AB′为⊙,连结AE、BE,可得BE=B′E,由此得AE+BE=AE+B′E>AB′=>AE+EB>2.
解题中,常根据下面的一些特殊情况作翻折变换:
(1)与线段中点有关的问题,常取该线段的垂直平分线为对称轴作变换;
(2)与角平分线有关的问题,常取角平分线所在的直线为对称轴作变换;
(3)与等腰三角形有关的问题,常取底边的中垂线为对称轴作变换;
(4)与正三角形或正方形有关的问题,常利用正三角形或正方形的特性作对称变换;
(5)与圆有关有问题,常取某直径所在直线为对称轴作变换.
二、平移变换
内容提要:平移变换是平面到自身的变换,将平面上任一点P变换到P′,使得:(1)射线PP′有给定的方向;(2)线段PP′,图形变为与之全等的图形,直线变为与之平行的直线.
在解几何问题时,常利用平移变换使分散的条件集中在一起,具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形.
如图12-5,等腰梯形ABCD两对角线互相垂直,MN为中位线,:MN=DH.
思路分析:,则DE=AC=△DBE为等腰直角三角形,DH
例4 .如图12-7所示,分别以O1、O2、O3为圆心的三个相等的圆交于一点K,