文档介绍：
数学是研究空间形式和数量关系的学科,在初等几何课程里,着两方面的内容特别明显。
1 关于数学证明
直观和推理实物是最好的教具,其次是模型,在其次是图形,但实物很难要有就有,因此,图形在教学上起重要作用。几何图形的直观能化抽象为具体,往往是启发抽象思维的有力工具,但图形无论画的如何准确,也无法替代逻辑思维。所以,尽管直观和实验对我们获得感性认识起重要作用,证明命题还主要靠逻辑推理。
2关于命题证明定义,公理,定理,都是命题。命题由两部分组成,第一部分称前提或假设,第二部分称结论。
前提不能互相矛盾,否则命题毫无意义。
命题不一定是真的,即不一定成立。真命题称为定理。
所谓数学证明,实际上是由假设经过推理以得出结论。为了解决证明源头正确与否的困境,古希腊的哲学家把原始的依据称为公设或公理,约定承认其正确,称之为自明之理,欧几里得的第五公设就不是自明的。
证命题时,一定要确切理解题意,给了我们什么条件,要我们得出什么结论,并在初学时就要求学会简洁,明白的写出。
命题的四种变化
原命题:若P则Q,
逆命题:若Q则P,
否命题:若则,
逆否命题:若则,其中,为P,Q的反面。
例(1)原命题:平行四边形的两条对角线互相平分。
(2)逆命题:若四边形的两条对角线互相平分,那么它是平行四边形。
(3)否命题:若四边形不是平行四边形,那么它的两条对角线不互相平分。
(4)逆否命题:若四边形的两条对角线不互相平分,那么它不是平行四边形。
四种命题的关系,图示如下
原命题
互逆
逆命题
互否互否
否命题
互逆
逆否命题
四种命题的真假关系:互为逆否的两命题,真则同真,假则同假。
3 充分条件,必要条件,充要条件
一般而言,在定理
中,条件P称为性质Q的充分条件,有了P便保证有Q;Q称为P的必要条件,没有Q,P就不成立。
如果原命题和逆命题同时成立:
P是Q的充分和必要条件,简称充要条件。
关于必要和充分的意义,可以概括如下:
必要:无它必不行,有它未必行。
充分:有它必行,无它未必不行。
充要:有它必行,无它必不行。
例“对角线互相垂直”是菱形的必要而不充分的条件;
“对角线互相垂直平分”是菱形的充要条件。
4 逆命题证法
证明逆命题,常用下列方法之一。
直接证明逆命题,即将原命题的证明过程,反其道而行之,举例说明。
定理:线段的中垂线上人任一点,距线段两端等远。
逆定理凡距两点A,B等远的点必在线段AB的中垂线上。
证明:设M为满足MA=MB的任一点,作MOAB,则由于斜线MA与MB等长,斜线足应距垂足O等远,即OA=OB,所以M在 AB的中垂线上。
证明与逆命题等效的否命题
否定理不在中垂线上的任一点,距线段两段不等远。
证:设不在线段AB中垂线上的点(上图),比方说,它和B在中垂线的同侧。于是从向直线AB所引的垂线足也和B在中垂线的同侧(否则两垂线将相交,而过此交点将有两直线垂直与AB了)。所以,于是按斜线比较长短定理,
。
利用原命题本身证明逆命题
大家可以自己举个例试一下。
5 直接证法与间接证法
直接证法:由命题的假设出发,根据定义,公里,定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的结论。
间接证法:有的问题,往往不易甚至不能直接证明,这时,不妨证明它的等效命题成立,因而也能间接的达到目的。
间接证法也可以分成以下几类:
直接
证法
间接
证法
同一法
反证法
归谬法
穷举法
证题方法
间接证法举例
例一(归谬法)圆内不是直径的两弦,不能互相平分。
假设:AB,CD是圆内非直径的两弦。
求证:AB,CD不能互相平分。
证:假设结论的反面成立,即设弦AB与CD的中点P既是AB的又是CD的中点。我们知道,弦的中点跟圆心O的连线是垂直于弦的。那么通过P点就有两条直线AB和CD与OP垂直的,这是不可能的,所以定理得到反证。
A
B
C
D
E
1
2
F
3
4
5
6
7
在⊿ABC中,∠B与∠C的平分线分别为BD与CE,且BD=CE.
求证:AB=AC.
证明假设AB≠AC,不妨设AB>∠C>∠B, 因此∠2>∠1,由此又可得BE>CD,平移BE到DF,则EF=BD=CE,所以∠ECF=∠EFC,但是,DF=BE>CD,所以∠4 >∠3, 于是∠5<∠6=∠7,从而得∠C=2∠5<2∠7=∠B,这与∠C >∠B矛盾.
该定理称作斯坦纳-莱莫斯定理,
有60余种证法.
同一法——,则原