文档介绍：下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是( )
分析:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误.
奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确.
若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定x∈R,如例1中的(3),故④错误,选A.
说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零.
复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的,因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系,函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集.
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律:
(1)单调性规律
如果函数u=g(x)在区间[m,n]上是单调函数,且函数y=f(u)在区间[g(m),g(n)] (或[g(n),g(m)])上也是单调函数,那么
若u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数y=f[g(x)]为增函数;若u=g(x),y= f(u)增减性不同,则y=f[g(x)]为减函数.
(2)奇偶性规律
若函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数.
[例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明:
(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.
知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.
技巧与方法:对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点.
证明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.
令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0
∴x2-x1<1-x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0,
即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(-1,1)上为减函数.
一、选择题
(x)=的图象( )
=1对称
解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称.
答案:C
二、填空题
(x)在R上为增函数,则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.
解析:令t=|x+1|,则t在(-∞,-1上递减,又y=f(x)在R