文档介绍：第5章计算机辅助几何设计
自由曲线
自由曲面
CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面,常用隐函数或二次方程的显函数表示。但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品设计中,存在大量的不能用二次曲面描述的曲线曲面,这类曲线曲面称为自由曲线(Free Form Curves)和自由曲面(Free Form Surfaces),这是计算机辅助几何设计研究的主要几何形状。
自由曲线
曲线曲面描述的基本原理
Hermite曲线
Bezier曲线
B样条曲线
非均匀有理B样条(NURBS)曲线
曲线曲面描述的基本原理
自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成,自由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此,曲线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。
1. 几何设计的基本概念
在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点:
(1)特征点(控制顶点):用来确定曲线曲面的形状位置,但曲线或曲面不一定经过该点。
(2) 型值点:用于确定曲线或曲面的位置与形状并且经过该点。
在曲线曲面设计中,通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状,并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼近。
(1)插值:给定一组精确的数值点,要求构造一个函数,使之严格地依次通过全部型值点,且满足光顺的要求。
(2)逼近:对于一组给定的控制顶点,要求构造一个函数,使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些点。
(3)光滑(smooth):从数学意义上讲,光滑是指曲线或曲面具有至少一阶连续导数。
(4)光顺(fair):至今仍是一个模糊的概念,尚无统一的标准。一方面有主观的因素,另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观标准及处理方法。
曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表示不直观,作图不方便(如ax+by+c=0);用显函数表示存在多值性(如x2+y2=r2)和斜率无穷大(如y=mx+b)等问题。此外,隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲面。
自由曲线曲面多用参数方程表示,相应地称为参数曲线或参数曲面。
空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹,其矢量函数为:
P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) , t 的范围是[0,1]
同理,空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为:
P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) 的范围是[0,1]×[0,1]
2. 曲线曲面的数学描述方法
用参数表示曲线曲面的优点:
(1)具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标系的选取无关。
(2)可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
(3) 参数方程将自变量和因变量完全分开,使得参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。
(4)可以处理多值曲线。
(5)规格化参数变量,使其相应的几何分量是有界的。由于参数限制在0到1的闭区间之内,因而所表示的曲线总是有界的,不需另设其他数据来定义其边界。
(6)对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次曲线的显式表示为:
(7) 易于用矢量和矩阵表示几何量,从而简化了计算。
其中只有4个系数可控制曲线的形状,而对于其参数表示为:
其中有8个系数可用来控制曲线的形状。
Hermite曲线
Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次参数曲线可以表示为:
该曲线的矢量表达式为:
应用端点P0和P1,以及端点切矢P0’和P1’,可得:
矩阵表达式为:
于是,