文档介绍：第11课时基本不等式及其应用【考情分析】考试要求:基本不等式C级要求了解基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题;掌握用基本不等式解决实际应用问题的方法和步骤,培养抽象和概括问题的能力,通过对实际问题的研究,体会数学建模的思想.【知识清单】、b,我们把称为a、b的算术平均数,称为a、≤,(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0;(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号;(3)结论:两个正数a,>0,b>0,≤≤≤,当且仅当a=.【课前预****1.(课本****题7改编)若x>0,:解析:因为x>0x+≥,当且仅当x=x=时,.(课本例1改编)设为正数,:.解析:因为为正数,所以,,y∈(0,+∞),且x+4y=1,:解析:因为x,y∈(0,+∞),则1=x+4y≥4,即xy≤.当且仅当x=4y=﹥0,恒成立,:解析:∵,∴∴(当且仅当x=1时等号成立),∴的最大值为,即a≥,y满足4x2+9y2+3xy=30,:2解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),所以12xy+3xy≤30,即xy≤2,所以xy的最大值为2.【典型例题】(),:5解析:(当且仅当x=2时等号成立).∴,:5解析:(当且仅当x=2时等号成立).∴,:-4解析:∵,即(当且仅当x=-2时等号成立)∴函数的最大值为-,:解析:当时,函数单调递增,所以当时,:求函数值域答案:解析:令,则,在上单调递增,所以,【规律方法】(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视,要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可。(2)利用基本不等式求最值有两类基本题型:“知和求积的最值”与“知积求和的最值”,即“和为定值,积有最大值”、“积为定值,和有最小值”。(3)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件。(4)利用基本不等式构造不等式也是解决求最值的常用方法。(如课前预****第5题)【拓展训练】求函数的值域答案:解析:(当且仅当x=时等号成立).所以函数的值域为目标2通过常数代换利用基本不等式求最值例2(1)已知,:(“1”的代换)因为,所以即的最小值为4,当且仅当时等号成立.(2)已知0<x<1,:由于0<x<1,所以x>0,1-x>0,=(),当且仅当时等号成立.【借题发挥】变式1已知,:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,所以++=++=3++++++=3+++≥=:若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+:5解析:由x+3y=5xy得,,所以,当且仅当,时,等式成立。变式3:若正数a,b满足a+b=2,则+的最小值是。答案:解析:+==≥(5+2)=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.【规律方法】利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略(1)在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,采用“常数代换”或“常数1”的替换,这是构造“积定”的常用方法。(2)“常数代换”构造“积定”,其实质仍是“配凑”的思想,只是形式更隐蔽,技巧性更强。【拓展训练】(1)已知,则的最小值为_________;的最小值为_____________解析:===5+2+4=,:,由于,所以的最小值是9.,由于,而函数在时单调递减,所以最小值是.(2)设是正实数,且,:解析:设,,则,.其中,,.,,(2016·苏州期末)已知,,:解析:由得,又,所以,消去b得又,则,.【借题发挥】已知x>y>0,xy=1,:2解析:∵xy=1