文档介绍：第10讲开集的可测性目的:熟悉一些常见的可测集,了解Borel集类与Lebesgue集类的差别。重点与难点:.第10讲开集的可测性基本内容::按Lebesgue可测集的定义,我们所熟悉的哪些集合是可测的?.第10讲开集的可测性问题2:由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集,还能构造出哪些可测集?所有这些可测集构成什么样的集类?.第10讲开集的可测性(1)   开集与闭集的可测性命题1Rn中任意开长方体都是可测的,且。证明:我们在前一节已经证明对任意开长方体I,有,所以只需证明I是可测的就行了,又由关于可测集定义的讨论,我们只要证明对任意开长方体J,,故不难得知(这与证明类似)因此从而I可测。证毕。.第10讲开集的可测性定义1Rn中的集合称为左开右闭长方体。与直线上开集的构造有所不同,Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并,但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并,,即是左开右闭长方体。证明:对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如mi是正整数)的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=(有限或可数个)。对于k>1,用表示上述那些完全被G包含但与任何不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体且它们互不相交,并满足。如果,则存在,使注意到故当k充分大时,含x的形如Bk的长方体一定完全包含在中,从而也包含在G,所以一定在某个中,,(2)   Gδ型集、Fб型集、Borel集定理1Rn中的任意开集、闭集、F型集、G型集均为可测集。证明:由命题1知任一左开右闭长方体J可测且mJ=|J|,从而由引理1知任意开集可测,进一步闭集、F型集、G型集均可测。证毕。.第十讲开集的可测性注:从定理1可知,可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的。事实上,由开集经过可数次的交、并、差运算后,所得的集合仍然是可测集。于是,由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B(Rn)或B,称为Rn中的Borel集类。B中元称为Rn中的Borel集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为:Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集。.