文档介绍：实变函数论
曹广福教授
四川大学数学学院
第1讲集合及其运算
目的:了解集合的表示法;掌握集合的基本运算;熟悉一些常用集合的符号;准确理解集合序列的上、下限集。 重点与难点:集合序列的上、下限集。
基本内容:
集合及其运算
集合论产生于十九世纪七十年代,它是德国数学家康托尔(Cantor)创立的,不仅是分析学的基础,同时,它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。
集合及其运算
然而,任何一门学科的发展都不可能是帆风顺的,也不可能是完美无缺的,正是集合论,曾经给数学界带来了极大的恐慌,因为自从康托尔以相当随便的方式阐述了集合论(即现在人们所说的相互集合论)之后,人们逐渐发现它存在着不可调和的矛盾。如罗素(Bertrand Russell)于1918年叙述的著名“理发师”悖论,以及理查德(Jules Richard)编造的“理查德”悖论等等,都曾经常常困扰了数学家们。
集合及其运算
为避免集合论中的矛盾,人们求助于将Cantor的相互集合论加以公理化,以策密罗(Ernst Zermelo)为首的一批数学家建立了一套集合论公理体系,即如今的形式集合论,从而避免了这一理论内已被发现的矛盾。然而,有关公理化集合论相容性尚未得到证明。庞加莱(Poincare)关于相容性问题做了一个风趣的评论:“为了防备狼。”尽管集合论不如人们所期望的那样无懈可击,它在数学中的地位却不因此而降低。它始终是我们掌握许多理论所必须的基本知识。
第1讲集合及其运算
我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触过集合这个概念,所谓集合,指的是具有某种特定性质的对象的全体,通常用大写英文字母A,B,X,Y…等表示;集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来,我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元素。
集合及其运算
对于集合A,某一对象x如果是A的元素,则称x属于A,记作;如果x不是A的元素,则称x不属于A,记为(或记为)。
正如定义所说,集合是由具有某种特定性质的对象全体组成的,因此,在表示一个集合时,常把这一性质写出来,例如,A是由具有性质P的元素全体组成时,通常记为:
,
其中P可以是一段文字,也可以是某个数学式子。
集合及其运算
:
除了上述方法之外,有时也用特殊记号表示某些特殊的集合。比如,在大多数场合下,始终表示实数全体(或直线)C始终表示复数全体(或复平面),N、Z、Q分别表示自然数、整数、有理数全体,以后如无特别声明,我们也都不加解释地使用这些符号。此外,直线上的区间也采用诸如[a,b],(a,b)等记号,如果一个集合仅由有限个元素组成,则最方便的办法是将其一一列出,例如,1到10的自然数全体可记作{1,2,3,…,10},不含任何元素的集合称为空集,记作。
集合及其运算
假设A,B是两个集合,如果A中的元素都是B中的元素,则称A是B的子集,记作,或记作。前者读作“A包含于B中”,后者读着“B包含A”。显然,空集是任何集合的子集,任何集合是其自身的子集。假如要证明A是B的子集,最常用的办法是,任取。
如果A是B的子集,且存在,则称A是B的真子集,记作。
如果A是B的子集,B又是A的子集,则称A与B相等,记作A=B。
集合及其运算
所有既属于A,又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(或通集),记作,若
,则称A与B互不相交,显然 B当且仅当且。
对于一簇集合,可类似定义其交集,
即