文档介绍：(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f(x)=0[],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以f(x)~g(x)2常见的等价无穷小当x→0时sinx~x,tanx~x,~x,~x1−cosx~,−1~x,~x,~.(夹逼定理)设g(x)≤f(x)≤h(x)放缩求极限若,则两个重要公式公式1公式2用无穷小重要性质和等价无穷小代换★用泰勒公式当时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次洛必达法则定理1设函数、满足下列条件:(1),;(2)与在的某一去心邻域内可导,且;(3)存在(或为无穷大),则这个定理说明:当存在时,也存在且等于;当为无穷大时,(ospital)“”型不定式,于是由洛必达法则,“”型不定式,于是由洛必达法则,,则可以继续应用洛必达法则,即二、型未定式定理2设函数、满足下列条件:(1),;(2)与在的某一去心邻域内可导,且;(3)存在(或为无穷大),则注:上述关于时未定式型的洛必达法则,,连续次施行洛必达法则,:(1)洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则;(2)只要条件具备,可以连续应用洛必达法则;(3)洛必达法则的条件是充分的,,(如果存在)利用定积分定义求极限基本格式(如果存在)函数的间断点的分类函数的间断点分为两类:第一类间断点设是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点处的左、右极限都存在,则称是f(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。闭区间上连续函数的性质在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1.(有界定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)必在[a,b]上有界。定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个ξ,使得f(ξ)=c推论:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得f(ξ)==f(u),u=ϕ(x),如果ϕ(x)在x处可导,f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f[ϕ(x)]在x处可导,且有对应地,由于公式不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。=ϕ(t),y=确定函数y=y(x),其中存在,且≠0,=f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导,且f′(x)≠0则4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y′的方法如下:把F(x,y)=0两边的各项对x求导,把y看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y′的表达式(允许出现y变量)5对数求导法则(指数类型如)先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y′。对数求导法主要用于:①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域P106例6)关于幂指函数y=[f(x)]g(x)常用的一种方法,y=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。6可微与可导的关系f(x)在处可微⇔f(x)在处可导。7求n阶导数(n≥2,正整数)先求出y′,y′′,……,总结出规律性,然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式,,(5),微分中值定理与导数应用一罗尔定理设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b)则存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0二★拉格朗日中值定理(证明不等式P1349、10)设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开