文档介绍：1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设:
(1)地面为连续曲面
(2)长方形桌的四条腿长度相同
(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的
(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A、B、C、D处,A、B,C、D的初始位置在与x轴平行,再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B,C、D平行。当方桌绕中心0旋转时,对角线 ab与x轴的夹角记为。
容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性,令为A、B离地距离之和,为C、D离地距离之和,它们的值由唯一确定。由假设(1),,均为的连续函数。又由假设(3),三条腿总能同时着地, 故=0必成立()。不妨设,g(若也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于是问题归结为:
已知,均为的连续函数,,且对任意有,求证存在某一,使。
证明:当θ=π时,AB与CD互换位置,故,。作,显然,也是的连续函数,而,由连续函数的取零值定理,存在,,使得,即。又由于,故必有,证毕。
,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会,试用合理的方法分配各宿舍的委员数。
解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设:A宿舍的委员数为x人,B宿舍的委员数为y人,C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1,其余取整数部分。
则
x+y+z=10;
x/10=235/1000;
y/10=333/1000;
z/10=432/1000;

,x,y,z为正整数;
解得:x=3
y=3
z=4
、设备、人力,估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元,,问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。
解:设在第t天出售这样的生猪(初始重80公斤的猪)可以获得的利润为z元。
每头猪投入:5t元
产出:(8-)(80+2t)元
利润:Z = 5t +(8-)(80+2t)=- t^2 + 13t +640
=-(t^2-65t+4225/4)+3405/4
当t=32或t=33时,Zmax=(元)
因此,应该在第32天过后卖出这样的生猪,可以获得最大利润。

4. 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求,生产的A1,A2全部能售出,且每公斤A1获利24元,每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公