文档介绍：全面几何试题]

1. 过圆外一点P作圆两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，
C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．
P
A
B
C
D
Q

2、图，，分别为锐角三角形（）外接圆上弧、中点．过点作交圆于点，为内心，连接并延长交圆于．
⑴ 求证：；
⑵ 在弧（不含点）上任取一点（，，），记，内心分别为，，求证：，，，四点共圆．
，第二个圆切于，外切于，第三个圆切于，外切于，外切于，交于，求证是外心。
（35届IMO预选题）
4. 图，给定凸四边形，，是平面上动点，
令．
（Ⅰ）求证：当达成最小值时，四点共圆；
图1
（Ⅱ）设是外接圆上一点，满足：，，，又是切线，，求最小值．
5. 在直角三角形ABC中，，△ABC 内切圆O分别和边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，和内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若，求证：．
6. 给定锐角三角形PBC，．设A，D分别是边PB，PC上点，连接AC，
BD，相交于点O. 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD中点分别为M，N．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：；
（2）若，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证实你结论．
．
7. 图，已知△ABC内切圆I分别和边AB、BC相于点F、D，直线AD、CF分别交圆I于另一点H、K.
求证：I
K
H
F
D
C
B
A
.

,⊙O是△ABC边BC外旁切圆,D、E、F分别为⊙O和BC、CA、, 求证：AK平分BC.

参考答案
：连结AB，在△ADQ和△ABC中，∠ADQ=∠ABC，∠DAQ=∠PBC=∠CAB
　故△ADQ∽△ABC，而有，即BC·AD＝AB·DQ 10分
　　又由切割线关系知△PCA∽△PAD得　；
　　同理由△PCB∽△PBD得　 20分
　　又因PA＝PB，故
，得　AC·BD＝BC·AD＝AB·DQ 30分
　　又由相关圆内接四边形ACBD托勒密定理知　AC·BD＋BC·AD＝AB·CD
　　于是得：AB·CD＝2AB·DQ，故DQ＝CD，即CQ＝DQ 40分
　　在△CBQ和△ABD中，，∠BCQ＝∠BAD，于是△CBQ∽△ABD，
　　故∠CBQ＝∠ABD，即得∠DBQ＝∠ABC∠PAC．
2.[解析]： ⑴ 连，．因为，，，，共圆，故是等腰梯形．
所以，．
连，，则和交于，因为
，所以．同理．
于是，．
故四边形为平行四边形．所以（同底，等高）．
又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式
于是．
⑵因为，
所以，同理．由得．
由⑴所证，，故．
又因，有．
故，从而．
所以，，，四点共圆．
：由∥，知，从而有，即三点共线。同理由∥，可得三点共线。又因为，所以四点共圆，，即点在和根轴上。又因为在和根轴上，所以是和根轴。同理是和根轴，所以为根心，且有，即是外心。
4.[解法一] （Ⅰ）图1，由托勒密不等式，对平面上
任意点，有
．
所以
．
因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，
所以当且仅当在外接圆且在上时，
． …10分
又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号．所以当且仅当为外接圆和交点时，取最小值．
故当达最小值时，四点共圆． …20分
（Ⅱ）记，则，由正弦定理有，从而，即，所以
，
整理得，　　　　…30分
解得或（舍去），故，．
由已知=,有，
即，整理得
，
故，可得，………40分
从而，，为等腰直角三角形．因，则．
又也是等腰直角三角形，故，，．
故． …50分
[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接交外接圆于点（因为在圆外，故在上）．
答一图2
过分别作垂线，两两相交得，易知在内，从而在内，记之三内角分别为，则，又因，，得，同