文档介绍：抛物线经典结论和例题
抛
物
线
x
y
O
l
F
x
y
O
l
F
l
F
x
y
O
x
y
O
l
F
定义
平面与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}
围
对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦半径
焦 点弦 长
o
x
F
y
焦点弦的几条性质
以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为，则
若的倾斜角为，则
切线
方程
直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，
，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线： 抛物线，
联立方程法：
设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
相交弦AB的弦长
或
b. 中点, ，
点差法：
设交点坐标为，，代入抛物线方程，得
将两式相减，可得
所以
在涉及斜率问题时，
在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
一、抛物线的定义及其应用
例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值围是( )
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( )
A．4 B．3 C．4 D．8
例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( )
A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x
三、抛物线的综合问题
例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝ ＋λ，求λ的值．
例6、已知平面一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求· 的最小值
例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．
练习题
1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）
A．1 B．4