文档介绍：抛物线经典结论和例题
y 2 2 px
( p 0)
y 2 2 px
( p 0)
x 2 2 py
( p 0)
x 2 2 py
( p 0)
抛物线
l
y
O
F
x
F
y
O
l
x
y
O
F
x
y
O F
l
x
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫定义 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF
=点 M到直线 l 的距离}
范围 x
0, y R
x 0, y R
x R, y 0
x R, y 0
对称性 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称
( p ,0) (
焦点 2
p ,0) (0,
2
焦点在对称轴上
p ) (0, p )
2 2
顶点 O(0,0)
离心率 e=1
p
准线 x
2
x p y p y p
2 2 2
方程
顶点到准
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p
线的距离 2
焦点到准
p
线的距离
焦半径
p
AF x1
p
AF x1
p
AF y1
p
AF y1
A(x1,
y1 ) 2 2 2 2
焦 点弦长 AB
( x1
x2 ) p
( x1
x2 ) p
( y1
y2 ) p
( y1
y2) p
y
A x1, y1
o F
焦点弦AB 的几条性质
x B x2, y2
以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切
A( x1, y1)
B (x2, y 2)
若 AB 的倾斜角为 ，则 AB
2 p
sin 2
p 2
若 AB 的倾斜角为 ，则 AB
2
2 p cos2
x1x2
4
y1y2 p
1 1 AF BF AB 2
AF BF AF
? BF AF
? BF p
切线
y0 y p( x x0 )
方程
y0 y p( x x0 )
x0 x p( y y0 )
x0 x p( y y0 )
直线与抛物线的位置关系
直线 ，抛物线 ，
，消 y 得：
）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
）当 k≠0 时，
Δ＞ 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜ 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。
）若直线与抛物线只有一个公共点 , 则直线与抛物线必相切吗（不一定）
关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y
kx b
抛物线 ， ( p 0)
① 联立方程法：
y kx b
2
k 2 x2
2( kb
p) x b 2 0
y 2 px
设交点坐标为
A( x1, y1) ,
B(x2,
y2)
，则有 0 , 以及 x1
x2 , x1x2 ，还可进一步求出
2
y1 y2
kx1
b kx2 b
k( x1
x2) 2b ，
y1 y2
(kx1
b)( kx2 b)
k 2x x
kb( x1
x2 ) b
1
2
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
2
相交弦 AB的弦长
2
AB 1
k x1 x2
1 k 2
( x1
x )2
4 x1x2
1 k 2
2
a
或 AB
1
1 2 y1 y2 k
1
1 2 ( y1
k
y )2
4 y1 y2
1 k 2
a
中点
M ( x0 ,
y0 ) , x0
x1 x2 ， y 2
y1 y2 2
0