文档介绍：圆的轴对称性
一、内容综述:
:
(1).圆的对称性:
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
圆还有旋转不变性。
(2).点和圆的位置关系:
设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:
点在圆内d<R
点在圆上d=r
点在圆外d>r
:
(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,900的圆周角所对的弧是直径。
(4)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
:垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的实质可以理解为:一条直线,如果它具有两个性质:(1)经过圆心;(2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质:(3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧(如图所示).
如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个,就可得到九个逆命题,,而其余的作为练习题。总之,一条直线,如果它五个性质中的任何两个成立,那么它也一定具有其余三个性质.
推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,
推论1的实质是:一条直线(如图)
(1)若满足:i)经过圆心,ii)平分弦,则可推出:iii)垂直于弦,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧.
(2)若满足:i)垂直于弦,ii)平分弦。则可推出:iii)经过圆心,iv)平分弦所对的劣弧,v)平分弦所对的优弧.
(3)若满足;i)经过圆心,ii)平分弦所对的一条弧,则可推出:iii)垂直于弦,iv)平分弦,v)平分弦所对的另一条弧.
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图中,若AB∥CD,则AC=BD
注意:在圆中,解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。
三、例题分析:
,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,过A,B向CD引垂线,垂足分别为E,F,求证:CE=DF
证明:过O作OM⊥CD于M,
∴CM=DM,
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴AE//OM//FB,
又∵O是AB中点,
∴M是EF中点(平行线等分线段定理),
∴EM=MF,
∴CE=DF。
说明:此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点,欲证CE=DF,那么E,F也必是轴对称点,由于E,F是垂足,那么E,F也应关于某条垂线成轴对称点,这样,这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。
△ABC内接于⊙O,且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离为2cm,求AB的长。
分析:因为不知道△ABC是锐角三角形,还是钝角三角形(由已知分析,△ABC不会是直角三角形,因为若是直角三角形,则BC为斜边,圆心O在BC上,这与O点到BC的距离为2cm矛盾),因此圆心有可能在三角形内部,也可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论:
(1)假若△ABC是锐角三角形,如图,由AB=AC
可知,,∴点A是弧BC中点,
连结AO并延长交BC于D,由垂径推论
可得AD⊥BC,且BD=CD,这样OD=2cm,
再连结OB,在Rt△OBD中OB=6cm,
可求出BD的长,则AD长可求出,则在Rt△ABD中可求出AB的长。
(2)若△ABC是钝角三角形,如图,
连结AO交BC于D,先证OD⊥BC,
OD平分BC,再连结OB,由OB=6cm,
OD=2cm,求出BD长,然后求出AD的长,
从而在Rt△ADB中求出AB的长。
略解:(1)连结AO并延长交BC于D,连结OB,
∵AB=AC,
∴,∴AD⊥BC且BD=CD,
∴OD=2,BO=6,
在Rt△OBD中,由勾股定理得:BD===4,
在Rt△ADB中,AD=OA+OD=8,
由勾股定理可得:AB== =4(cm)
(2)同(1)添加辅助线求出BD=4,
在Rt△ADB中,AD=AO-OD=6-2=4,
由勾股定理可得:AB== =4(cm),
∴AB=4 cm或4cm。
说明:凡是与三角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形的位置关系,防止