文档介绍：-2 圆的轴对称性
定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
结论
复习
②CD⊥AB,
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
过点M作直径CD.
●O
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
小x发现图中有:
C
D
由① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
┗
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
探索规律
讨论
(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对优弧(5)平分弦所对的劣弧
(3)
(1)
(2)
(4)
(5)
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
(1)
(4)
(3)
(2)
(5)
(1)
(5)
(3)
(4)
(2)
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
命题(1):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
已知:CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB
求证:CD⊥AB,AD=BD,AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
命题(2):弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
已知:AB是弦,CD平分AB,
CD ⊥AB,求证:CD是直径,
AD=BD,AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
命题(3):平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
已知:CD是直径,AB是弦,并且AD=BD
(AC=BC)求证:CD平分AB,AC=BC
(AD=BD)CD ⊥AB
⌒
⌒
⌒
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⌒
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⌒
⌒
.
O
A
E
B
D
C
你可以写出相应的命题吗?
相信自己是最棒的!
定理的逆定理
如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
注意
定理及逆定理
●O
A
B
C
D
M└
条件
结论
定理及逆定理
①②
③④⑤
①③
②④⑤
①④
②③⑤
①⑤
②③④
②③
①④⑤
②④
①③⑤
②⑤
①③④
③④
①②⑤
③⑤
①②④
④⑤
①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高),求桥拱的半径().
你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗?
例题
判断
(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧…………………………………..( )
(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心…………………………..( )
(3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………( )
(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧……………………………( )
(5)圆内两条非直径的弦不能互相平分( )
×
√
×
×
√
一、判断是非:
(6)平分弦的直径,平分这条弦所对的弧。
(7)平分弦的直线,必定过圆心。
(8)一条直线平分弦(这条弦不是直径),那么这
条直线垂直这条弦。
A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
O
(2)
A
B
C
D
O
(3)