文档介绍：研究生专业课程报告
题目：曲面曲率直接计算方法的比较
学院：信息学院
课程名称：三维可视化技术
任课教师：刘晓宁
姓名：朱丽品
学号： 201520973
西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较
1、摘要
曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，, 在计算机图形学, （网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。
关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格
2、引言
传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, , 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。
CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算
，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。
本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结.
3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现
为了叙述清楚起见, 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。
H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2，那么平均曲率则为：
H= (K 1 +K 2 ) / 2。
K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度。K=k 1*k 2。 
N fk表示法曲率, n i。
（1）曲面三角网格的表示形式
给一个三维曲面，如下图所示，如果用文本形式将其打开，则是由两部分组成，第一部分以v开头是三维的点，第二部分以f开头是三个点组成的面三角形。
（2）三角网格模型曲率计算---直接计算
第一步：估计给定点的法向量
三角网格模型一般情况下可以由一对线性表表示，M=（V,F）；其中V={vi：1<=i<=nv}表示顶点集，F={fK:1<=k<=nf}表示三角片集。如下图所示：
各个三角片的法向量的计算，在计算以vi为公共顶点的法向量时，由于后面的计算要取其平均值，故必须保证法向量方向的一致性，在这里要用到了数学上的右手法则或者左手法则，即与vi相邻的点形成一个三维的封闭的圈，按照右手法则给其线段标注方向，如下图所示。
三角面片f k 的法向量N fk 的计算公式如下：
N fk=(vi-vj+1)*(vj+1-vj)/||(vi-vj+1)*(vj+1-vj)||;

我们称1-环邻域