文档介绍：设刚体绕固定轴Oz以角速度转动,各体元的质量
分别为m1 , m2 , …, mn ,各体元到转轴Oz的距
离依次是r1 , r2 , …, rn。
n 个体元绕Oz轴作圆周运
动的动能的总和为:
一、刚体的转动动能(Rotational ic energy )
§5-2 刚体动力学
1
式中称为刚体对转轴的转动惯量。
代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式
刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的(与质点运动动能表达式在形式上的相似性,也要注意到刚体定轴转动自身的特点)。
用J 表示:
2
二、刚体的转动惯量(Moment of inertia )
从转动动能公式看到, 刚体的转动惯量J与质点的质量 m 相对应。在质点运动中, 质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中, 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。
若刚体的质量连续分布, 转动惯量中的求和号
用积分号代替
:
刚体的质量、转轴的位置、刚体的形状(分布)。
3

4
5
例 1:一根质量为m = kg 、长为l = m 的均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度= 63 rads-1 旋转, 求转动动能。
解:先求细棒对转轴的
转动惯量J, 然后求转动动
能Ek。
将棒的中点取为坐标原
点, 建立坐标系Oxy,取y 轴
为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为
x
dx
x
y
o
6
根据式(5-4), 应有
棒的转动动能为
7

(1). 平行轴定理
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚
体的质量,d是两平行轴之间的距离。
(2). 垂直轴定理
若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平
面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯
量有如下关系
8
解:两平行轴的距离, 代入平行轴定理,
得
例2:在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得
对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。
9
·
R
o
x
y
例 3:求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘对通
过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。
解:盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为
取半径为r、宽为 dr的圆环如图所示,其质量为
圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为
r
dr
10