文档介绍：第一章行列式
1.(95,九题,6分)设A是n阶矩阵,满足(E是n阶单位阵,是A的转置矩阵,|A|<0,求|A+E|。
【分析】由矩阵等式求抽象矩阵A+E的行列式,联想到利用此等式条件,则有两种方法:
①将直接代入要计算的行列式中。
②“凑”出可利用已知矩阵等式中左端的形式,再将代入计算。
像这种矩阵运算与行列式计算结合考查的题型,应注意.
【详解】根据有
2.(96,选(5)题,3分)四阶行列式的值等于
      (A)
(B)
      (C)
       (D)
【】
【答】应选(D)
【分析】本题是根据行列式展开定理按照第一行展开计算求解的,也可以按照拉普拉斯展开定理进行计算分析,解答本题有一定的技巧性
【详解】按第一行展开,
原式=
故正确选项为(D)
3.(99,选(4)题,3分)设A是矩阵,B是矩阵,则
   (A)当m>n时,必有行列式|. (B)当m>n时,必有行列式|.
   (C)当n>m时,必有行列式|. (D)当n>m时,必有行列式|.
【】
【答】应选(B)
【分析】四个选项在于区分行列式是否为零,而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件,而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系,所以最终只要判断AB是否满秩即可。本题未知AB的具体元素,因此不方便直接应用行列式的有关计算方法进行求解。
【详解】因为AB为m阶方阵,且
当m>n时,由上式可知,,即AB不是满秩的,故有行列式|AB|=0,因此正确选项为(B)
4.(04,填(5)题,4分)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则|B|=
【分析】可先用公式进行简化
【详解】已知等式两边同时右乘A,得
,而|A|=3,于是有
3AB=6B+A,即(3A-6E)B=A,再两边取行列式有:
|3A-6E||B|=|A|=3,而|3A-6E|=27,故所求行列式为|B|=
5.(05,填(5)题,4分)设均为3维列向量,记矩阵
      A=(),B=()
如果|A|=1,那么|B|=
【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可。
【详解】对矩阵B用分块技巧,有
两边取行列式,并用行列式乘法公式,得
所以|B|=2.
6.(06,(5)题,4分)设矩阵,E为单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=
【分析】本题为计算方阵行列式,应利用矩阵运算与行列式的关系来求解
【详解】由BA=B+2E得
                                              BA-B=2E
B(A-E)=2E
|B(A-E)|=|2E|
|B||A-E|=4
|B|=4|A-E|-1
=
第二章矩阵
一、矩阵运算
1.(97,填(4)题,3分)设,B为三阶非零矩阵,且AB=0,则t=
【分析】由AB=0也可推知r(A)+r(B)3,而r(B)>0。于是r(A)2,故有|A|=0t=-3.
【详解】由于B为三阶非零矩阵,且AB=0,可见线性方程组Ax=0存在非零解,故
   
二、伴随矩阵
1.(05,12题,4分)设A为n()阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,,分别为A,B的伴随矩阵,则
(A)交换的第1列与第2列得
(B)交换的第1行与第2行得
(C)交换的第1列与第2列得
(D)交换的第1行与第2行得
【】
【答】应选(C)
【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质,只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质尽心分析即可
【详解】为书写简捷,不妨考查A为3阶矩阵,因为A作初等行变换得到B,所以用初等矩阵左乘A得到B,按已知有
于是
从而
又因|A|=-|B|,故,所以应选(C)
三、可逆矩阵
1.(96,八题,6分)设,其中E是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,是的转置,证明:
(1)的充要条件是
(2)当时,A是不可逆矩阵
【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。题中是n维列向量,则是n阶矩阵且秩为1。而是一个数
【详解】
(1)
因此
因为,所以故的充要条件为
(2)方法一:当时,由,有,
因为故有非零解,因此|A|=0,说明A不可逆
方法二:当,由,即E-A的每一列均为的解,
因为说明有非零解,故秩(A)<n,因此A不可逆
方法三:用反证法。假设A可逆,当,有
于是,即,这与矛盾,故A时不可逆矩阵
2.(01,填(4)题,3分)设矩阵A满足,其中E为单位矩阵,则=
【分析】本题中矩阵A的元素没有给出,因此用伴随矩阵,用初等行变换求逆的