文档介绍：传染病模型
摘要
“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。 利用隔离等手段来保护未被感染的人群， 减少其对健康人群的危害。 由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义， 利用数学知识联系实际问题， 作出相应的解答和处理。问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染
病高潮到来的时刻， 在传染病过程中， 建立传染病影响健康人的数学模型。 问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下， 要建立适合总人数不变， 区分已经感染的人群和的数学模型， 必须在问题一的条件下作出合理假设， 同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学
模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人， 健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染， 一个感染期内每个病人的有效接触人数， 称为接触数。
一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和
影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，
人口的出生和死亡， 还有人员的迁入和迁出， 潜伏期的长短， 预防疾病的宣传以
及人的个体差异等。 如何建立一个与实际比较吻合的数学模型， 开始显然不能将
所有因素都考虑进去。 为此，必须从诸多因素中， 抓住主要因素， 去掉次要因素。
先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改
原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。 从而使模型逐步完善。 下面是一个由简单到复杂的建模过程， 很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
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一．问题的提出
描述传染病的传播过程， 将分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮到
来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区
分健康人群和已经感染人群的情况下， 要建立适合总人数不变， 区分已经感染的
人群和的数学模型， 必须在问题一的条件下作出合理假设， 同时得出该模型， 最
后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。 问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人， 健康人可再次被感染， 问题三加入健康人可以再次感染， 一个感染期内每个病人的有效接触人数， 称为接触数。
二．问题的分析
问题分析
描述传染病的传播过程， 将分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。
模型分工
分组组员 模型选取
传染病模型一 : 已感染人数 (病人 ) i(t) 与时间 t 的关系
传染病模型二 :在模型一的基础上区分已感染者(病人 )和未感染者 (健康人 )
传染病模型三 :在模型一与模型二的基础上传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染
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三．建模过程
问题一
. 模型假设：
每个病人在单位时间内传染的人数是常数 k； (2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。
. 定义符号说明：
i(t)表示 t 时刻的病人数， k0 表示每个病人单位时间内传染的人数， i(0)= i0 表
示最初时有 i0 个传染病人。
模型建立与求解：
在 t 时间内增加的病人数为 i
t
t i t k0i t
t ；
两边除以
t ，并令 t → 0 得微分方程
di t
k0i
t
dt
⋯⋯⋯⋯
（）
i
0
i0
其解为
i t i0ek0t
。
这表明传染病的转播是按指数函数增加的。 这结果与传染病传播初期比较吻
合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由 ()的解可
知，当 t→∞时， i(t) →∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传