文档介绍：甲型H1N1流感传播模型研究
摘要
本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测,文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据,对模型进行了验证,并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。
一、问题重述
近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感(又称猪流感)正成为人们关注的焦点,通过相关网站获得数据,建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。
二、问题分析
甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究,其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组,按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量,建立SIR模型,对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。
美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量:
时间
确诊(包括死亡病例)
死亡(累计)
4月23日
5
0
4月24日
8
0
4月25日
11
0
4月26日
20
0
4月27日
40
0
4月28日
64
0
4月29日
91
0
4月30日
109
1
5月1日
141
1
5月2日
160
1
5月3日
226
1
5月4日
279
1
5月5日
403
1
5月6日
642
2
5月7日
896
2
5月8日
1639
2
5月9日
2254
2
5月10日
2532
3
5月11日
2600
3
5月12日
3009
3
5月13日
3352
4
5月14日
4298
4
5月15日
4714
4
三、建立模型
(一)、不考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设
(1)、在甲型H1N1流感传播期内,美国境内的总人数为N亿不变,既不考虑生死,也不考虑迁移,人群分为易感染者S,发病人群I和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类,时刻t内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。
(2)、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比,比例常数为。
病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比,比例常数为。治愈
的病人具有了免疫力,即治愈后不再会成为二次患者。
(3)、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。
2、模型构成
易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为,个发病者平均每天能使个易感者成为病毒***。所以有:
(1)
单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少,即
(2)
发病人群的变化等于易感人群转入的数量,即
(3)
记初始时刻的健康者和病人的比例分别为、(不妨设=0)。
3、模型求解
方程组(1)、(2)、(3)无法求出解析解,我们定义一个新的变量,于是可以求出方程的解为:
(4)
下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况:
a、不论初始条件、如何,病人最终将消失,即。
b、最终未被感染者的健康者的比例是,是方程
在内的根。
C、若,则开始有:先增加。当时,达到最大值,然后减小且趋于零,则单调减小至。
d、若,则单调减小至5,则单调减小至。
我们发现人们的卫生水平越高,日接触率越小;医疗水平越高,日治