文档介绍：实变函数课程报告
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实变函数
【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以n维欧式空间为基地，重点容是Lebesgue测度和积分的理论，而Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础，本文主要论述了Lebesgue外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。
【关键词】Lebesgue外测度，测度，可测集，可测函数

在19世纪时，数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题，为了克服Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898年,Borel建立了一维Borel点集的测度，法国数学家Lebesgue在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论—Lebesgue积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测度理论，1918年，意大利数学家Caratheodory关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用）。Riemann积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann可积函数类之外，Lebesgue积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设在上有界，满足，任给，作分割
=L
其中，，并作点集
则对应于上面分割的积分和为,其中为点集的长度，这种积分的优点在于可以取很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从Riemann可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类。积分和计算的关键是点集的度量，对于通常的区间的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到在
中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue外测度与测度理论。Lebesgue外测度是对中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。
外测度
Lebesgue 外测度定义
Def 1：设。若是中的可数个开矩体，具有，则称为的一个—覆盖，我们称为点集的Lebesgue外测度。
Rn中点集的外测度性质
非负性：
单调性：若，则
次可加性：
证明：，的L—覆盖，使得
，
，
显然，是的L—覆盖，从而有。由的任意性可知结论成立。
距离可加性：设，是中的点集，若它们的距离
证明：显然成立
只要证明即可。
设，对，作的L—覆盖，使得，其中的边长都小于，现将分为如下两组：
（ⅰ）（ⅱ）
且其中任一矩体皆不同时含有