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实变函数课程报告
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实变函数
【摘要】实变函数是近代分析数学领域的根底知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以n维欧式空间为基地，重点内容是Lebesgue测度和积分的理论，而Lebesgue外测度是Lebesgue积分的根底，本文主要论述了Lebesgue外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。
【关键词】Lebesgue外测度，测度，可测集，可测函数
在19世纪时，数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann积分的古典理论已缺乏以解决数学分析中的许多问题，为了克制Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶,不少分析学家进展一系列扩大长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898年,Borel建立了一维Borel点集的测度，法国数学家Lebesgue在1902年他的博士论文?长度、面积和积分?中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论—Lebesgue积分〔1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般代数上建立测度，开场创立抽象测度理论，1918年，意大利数学家Caratheodory关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用〕。Riemann积分无视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riem