文档介绍：. 下列事件有什么关系? 试指出并说明理由: limt→s P{N(t) − N(s) ≥ 1}
(1) (N(t) < n) 与(Sn > t) = 1− lim P{N(t) − N(s) = 0}
t→s
−λ(t−s)
∵ N(t) < n = N(Sn ) ∴ Sn > t
= 1− limt→s e
∵ S > t ≥ S ∴ N(t) < n
n N (t) = 0
∴(N(t) < n) = (S > t) 得证.
n
与
(2) (N(t) ≤ n) (S n ≥ t)
若计数过程具有 Possion 过程的性质, 可不考虑同一时刻
设{X n ,n ≥ 1} iid. X n 的概率密度函数为
有 2 个以上“顾客”到达的情况, 即可忽略 P(Sn = Sn+1 ) = 0 的
−ρ(x−δ)
小概率事件, 假设 S < S , 则ρe , x > δ
n n+1 f (x) = 
0, x ≤δ
∵(N(t) ≤ n) = (N(t) < n +1) = (Sn+1 > t) 
∴(N(t) ≤ n) ⊃(S ≥ t) 其中δ> 0 给定. 求更新过程中的概率 P(N(t) ≥ k) .
n
观察 X n和X n '+δ的分布函数, 其中 X n ' 服从参数为ρ的
若是普通的计数过程, 则 Sn ≤ Sn+1 , 当 Sn = Sn+1 = t 时,
N(,t) = n +1 > n 两者无包含关系. 指数分布, 对应一个 Poisson 过程 N'(t) .
x x−δ
(3) (N(t) > n) 与(S < t) −ρ(u−δ) −ρu
n ∵ P(X n ≤ x) = ρe du = ρe du = P(X n '+δ≤ x)
∫δ∫0
同上, 若 S < S , 则
n n+1 两者的分布函数完全相同, 可令 X = X '+δ, 则
(N(t) > n) ⊂(S < t) n n
n k
若 S ≤ S , 两者无包含关系. ∴ P(N(t) ≥ k) = P(S ≤ t) = P( X ' ≤ t − kδ)
n n+1 k ∑ i
(4) (W (t) > x ) 与(N(t + x) − N(t) = 0) i=0
= P(Sk '≤ t − kδ) = P(N'(t − kδ) ≥ k)
(W (t) > x) = (S N (t)+1 − t > x)
+∞ i i
ρ(t − kδ) −ρ(t−kδ)
= (S N (t)+1 > t + x) {∵(N(t) < n) ⇔(Sn > t)} = ⋅e ⋅ I{t > kδ}
∑ i!
= (N(t + x) < N(t) +1) i=k
= (N(t + x) − N(t) < 1)
= (N(t + x) − N(t) = 0)
设的概率密度 2 −λx 求相应的更新函
X n f (x) = λ xe , x ≥ 0 ,
数 m(t) .
. 设(N(t), t ≥ 0) 为 Poisson 过程, 参