文档介绍：导数的综合运用
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题型一 导数与函数图象
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点评：给定解析式求函数的图象是近几年高考重点，并且难度在增大，多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势，利用导数求极值(最值)研究零点．
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(2015·杭州质检)设函数f(x)＝x2sinx，则函数f(x)的图象可能为( )
对点训练
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【解析】 因为f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．又因为f′(x)＝2xsinx＋x2cosx，所以f′(0)＝0，排除A；且当x∈[0，π]时，函数值为正实数，排除B；当x∈(π，2π)时，函数值为负实数，排除D，故选C.
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例2 (2015·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
【思路】 (1)令f′(x)＝0，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性．
(2)构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需证明g(x)在(0，＋∞)上是增函数，可利用导数求解．
题型二 导数与不等式
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【解析】 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈′(x)＝0，得x＝ln2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
2(1－ln2＋a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
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(2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
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点评：利用导数工具，证明不等式的关键在于要构造好函数的形式，转化为研究函数的最值或值域问题，有时需用到放缩技巧．
求证不等式f(x)≥g(x)，一种常见思路是用图像法来说明函数f(x)的图像在函数g(x)图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过导数研究函数F(x)的性质，进而证明欲证不等式．
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