文档介绍：Chapter 5 Hamiltonian Mechanics § Canonical variables, Hamiltonian function, Legendre’s transformation § Hamiltonian canonical equations § Hamiltonian principle § Poisson bracket and Poisson theorem § Canonical transformation § H-J equation
引言
拉氏方程中的拉氏函数
广义速度和时间。
,即其自变量为广义坐标,
能否把变量广义速度变换为广义动量?
形式又如何?
若能,拉氏方程将降一阶,那么新的方程为什么方程?
——哈密顿正则方程。
而哈密顿原理是力学的一条基本有重要的原理,1834年
(英)。
本章重点介绍哈密顿正则方程和哈密顿原理;先介绍与此有关的一些基本概念。
§ Canonical variables, Hamiltonian function, Legendre’s transformation
这组变量称为拉格朗日变量。
(前已知,若能将
变换成
方程降阶。
之所以称它们为正则变量,是因为由它们所构成的新的函数所满足的方程是正则方程。
正则变量是广义坐标和广义动量的统称。
这组独立变量称为拉格朗日变量。
引言知,
广义速度
换为
广义动量
,则能将拉格朗日
这组独立变量称为
正则变量。
二、哈密顿函数
独立变量换成正则变量q ,p之后,拉格朗日函数相应换成了一新函数。这新函数称为哈密顿函数,记为
它像拉格朗日函数一样,也是系统的状态函数。
哈密顿函数是描写系统力学性质的函数,它的地位和拉格朗日函数相同,它们都是体系的一个特征(性)函数。
三、Legendre 变换
问:
Legendre变换:
, 这就要借助于Legendre变换.
即新函数(如
)等于不要的变量(如
的函数(如L(q,p,t))
的函数.
)乘以原来
对这些变量的偏微商
再减去原
来
§ Hamiltonian canonical equations
一、正则方程
拉氏方程
由于
故有
这实际上已使方程降阶,但这里还出现拉氏函数。
以下导出正则方程:
另一方面:
比较(1),(2)即得:
……哈密顿(正则)方程
讨论:
①是一阶微方,但方程数比拉氏方程增加了一倍
②正则方程形式简单、对称(亦适用于完整保守系)
③与拉氏方程等价,也是决定系统运动规律的动力学方程
④由于广义动量在物理学中比广义速度重要得多,因此无论
经典物理还是近代物理,正则方程更常被运用。
⑤解决具体问题时,
时更方便。
较麻烦,因此拉氏方程
在具体应用
正则方程也同样存在能量积分。
注意到:
若H不显含时间t,则
特别,当变换方程不显含时间,
=
=0
哈密顿函数的物理意义:对稳定保守组,体系的哈密顿函数为一常量,且等于体系的总机械能(T+V)。
二、例题
在一光滑直管中有一质量为m的小球,此管以等角速度
绕通过其一段的水平轴转动,在起始瞬时,球距转动轴的距离
为a,
球相对于管的速度为
的运动规律。(课堂详解)
,试用哈密顿正则方程求小球
习题: ②、③
§ Hamiltonian principle
引言:
哈密顿原理是力学的一条基本而重要的原理。1834年英国
。
由于哈密顿原理用到变分,它归属于力学的变分原理。