文档介绍：描述流体运动的数学方法
拉格朗日法欧拉法
当地法
B2 流动分析基础
描述方法
随体法
拉格朗日法
欧拉法
质点轨迹:
参数分布:B = B(x, y, z, t)
分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数
表达式复杂表达式简单
不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布
不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性
拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法
[] 由速度分布求质点轨迹
求: 在t = 0时刻位于点(a,b)的流体质点的运动轨迹。
对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点
解:
求解一阶常微分方程(a)可得
已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
(a)
(b)
上式中c1 ,c2 为积分常数,由t = 0时刻流体质点位于,可确
定,代入(b)式,可得参数形式的流体质点轨迹方程为
讨论:
本例说明虽然给出的是速度分布式(欧拉法),即各空间点上速度分量随时间的变化规律,仍然可由此求出-指定流体质点在不同时刻经历的空间位置,即运动轨迹(拉格朗日法)。
B2 流动分析基础
速度场
•速度场是最基本的场
v = v (x, y, z, t )
•可用速度廓线(剖面)描述空间线或面上的速度分布
二维速度剖面 u =u ( x, y)
速度分量:
三维速度廓线
B2 流动分析基础
流量与平均速度
Q、指净流出流量
封闭曲面时
流量
体积流量
平均速度
体积流量
不可压缩流体质量流量
质量流量
不可压缩流体
[]直圆管粘性定常流动:流量与平均速度
求:两种速度分布的(1)流量Q的表达式;
(2)截面上平均速度V。
解:
(1)流量由()式计算,注意到dA = 2πrdr,抛物线分布的
流量为
已知:粘性流体在半径为R的直圆管内作定常流动。设圆管截面(指垂直管轴
的平面截面)上有两种速度分布(参见图 ),一种是抛物线分
布,另一种是1/7指数分布:
上式中,um1、um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。
v·n )dA =
1 / 7指数分布的流量为
v·n )dA
(2)平均速度由()式计算,抛物线分布和1 / 7指数分布的平
均速度分别为
讨论:
由上可见,速度为抛物线分布的截面上的平均速度为最大速度的一半,而1/,这是由于后者的速度廓线中部更平坦,速度分布更均匀的缘故。
一维,二维与三维流动
B2 流动分析基础
1. 流动维数的确定:
三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数
v=v ( x, y, z, t)
二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数
v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t)
一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数
v=v( x ) 或 v=v ( s )
2. 常用的流动简化形式:
(1) 二维流动:平面流动
轴对称流动
(2) 一维流动:
质点沿曲线的流动 v=v ( s )
流体沿管道的平均速度 v=v ( s )
B2 流动分析基础
用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上动能和动量计算造成偏差,引入动能修正因子和动量修正因子。
圆管粘性一维定常流动修正因子
3. 直圆管一维流动修正因子
速度分布类型
平均速度/中心速度
动能修正因子
动量修正因子
β
抛物线分布
1/7指数分布
[]直圆管粘性定常流动:动能修正系数与动量修正系数
(1) 按单位质量流体的动能计算,动能修正系数定义为
解:
已知:粘性流体在半径为R的直圆管内作定常流动。设圆管截面(指垂直管轴
的平面截面)上有两种速度分布(参见图 ),一种是抛物线分
布,另一种是1/7指数分布:
上式中,分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。
求:两种速度分布的(1)关于平均速度的动能修正系数
(2)关于平均速度的动量修正系数β。