文档介绍：4-1 图4-1(a)所示一单元处于平面应力状态。试求:1)主应力及主
平面;2)最大切应力及其作用平面。
解(一)解析法
由单元体可知
图4-1
1)极值正应力
典型题精解(4-1)
所以,主应力
主平面
所以, ,主应力单元体如图4-1(a)所示
典型题精解(4-1)
2)最大切应力
最大切应力作用平面
所以,由的作用平面也可判定最大切应力
作用平面是。
(二)图解法
按照作应力圆的方法在坐标系内,按选定的比例尺,由
得到D点,D点对应于x截面。由
典型题精解(4-1)
东南大学远程教育
材料力学
第八讲
主讲教师:马军
得到点, 点对应于y截面。再由点和两点绘出相应的应力圆,
如图4-1(b)所示。
应力圆和轴相交于两点,即为两个主应力值,由图中量得

应力圆的最高点相应于最大切应力,由图中量得
典型题精解(4-2)
4-2 已知如图4-2所示过一点两个平面上的应力。试求:1)该点
的主应力及主平面;2)两平面的夹角。
解:1)设平面1的法线方向为y方向,平面1就是y平面,其上的应力
为
与y平面正交的x平面上的切应力为
X平面上的正应力未知。
平面2上的应力在x平面和y平面所确定
的应力圆上,平面2的法线和x方向的夹
角,则
由应力圆的方程知
图4-2
典型题精解(4-2)
代入已知数据得
解方程得x平面上的正应力
主应力
主平面方位
典型题精解(4-2)
所以,
2)由平面应力状态任意截面的应力公式
代入平面2及x平面和y平面上的应力,得
解得
典型题精解(4-2)
4-3 一单元体应力状态如图4-3所示。已知材料的E=20Mpa,u=
试求:1)单元体的主应力及最大切应力;2)单元体的主应变和体积应变;
3)单元体的弹性比能、体积改变比能和形状改变比能。
解:1)由单元体图可以看出z截面的切应力为零,
因而z截面的正应力,即是一个
主应力。
两个主应力分别为
图4-3
典型题精解(4-3)
所以三个主应力为
最大切应力为
由广义虎克定律求得主应变
典型题精解(4-3)