张量分析与材料应力张量习题解答.doc

文档介绍：张量分析与材料应力张量习题解答
练习题II （金属所）
1•用下标符号证明：A
(B 0 (A C)B (A B)Co
证明具有小心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量
(divM) B=div(M B) {
(B ) ： M }

如下：求法线方向为［21］的血上的正应力。
2 11
(ij)
12 1
1 12
交
如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正
的。
730
(ij) 374
li 1J
lk
ijk In
[in
mi mj
nik
ni nj
nk
3.
证明
ijk
klm =(
il
4.
证明
ijk
ikj=-60
5.
证明
ijk
mik二一2
jm0

6.
jm- ini jl)
描述的物理性质也具有川心对称的特性。
B为矢量，M为二阶张量，证明:
047
位移场u在给定坐标系下的分量分别是：ul= ax2+bx3, u2=axl cx3, u3= bx2+cx3；其中a. b、c皆为常数。求这个位移场的应变张量。
，这个应变张量场合理吗?
2x1 26 6x1 2( ij) 2x1 212x2x2 1
, 轴的应力分量只有 和 两项,
x2 12x3 6
以［10］、［2］和 为xl、x2和x3坐标
求以三个晶轴作坐标系的各应力分量'ij。
练习题II解答(金属所)
：A (B C)
(A C)B (A B)Cc
解:
A (B C)
ijkaj (B C)kei ijkaj ( klmblcm)kei
ajblcm ijk klmei
ajblcm( 5 il 6 jm- 6 im 6 jl)ei
(ajbicj ajbjci)ei
(A C)B (A B)C

li lj lk
jk lmn mi mj mk ni nj nk
解：Qij的行列式为
allal2 dctA a21a22 a31a32al3a23 a33
当行列式行与行、列与列对换一次行列武的值就变号一次，任意换行后有
all ami
任意换列后有
ali
a2i
aBial ja2ja3jalka2k a3k
因此，任意行与行、列与列交换后有
ali
ami
aniamiamjamkanianj ijk lirnidetA ank
令 aij二 ij, detA=l,则有
li lj lk
mi mj mk ijk lmn
ni nj nk
klm =(订jm- irn jl)解：根据上题的结果，有
ki kj kk
ijk klm li 1j lk
mi mj ink
(ki
lj
mk kj
lk mi
kk li mj) ( kk
lj
mi lk mj
nik kj
li)
(im
jl
lj mi
3 li
mj)
(3 1 j mi