文档介绍：第六章 Saint-venant问题
§1. 问题的提出
  第五章中建立了弹性力学的边值问题,现在用它来解一些具体问题。在本章中要研究工程实际中有着广泛应用价值的柱体之拉压弯扭问题,这就是所谓的“Saint-Venant问题”。
我们需处理的弹性体为一正柱体,其横截面可为任意几何图形。不计体力,柱的侧面上无外载,仅在两端受有外力。在此情况下,求柱体内的位移场和应力场。
,其原点放在左端面的形心上, 轴平行于柱体的母线并指向右端, 轴和轴分别与截面的主轴重合,并与轴构成右手系。图中表示柱长。   
  
               
无体力时,以应力表示的弹性力学方程组为
               ()
      ()
其中为应力张量, 为的迹。侧面无外载的边界条件为
()
这里为的单位外法向。柱体左右两端的边界条件为
()
()
式中和分别为左右两个端面上所给定的外力, 为向的单位向量。
() ()在所选直角坐标系中的分量式为
()
()
()
()
()
()
这儿为应力分量,
      , 。
我们面对的是边值问题() (),或() ()。这种精确边界条件下的边值问题,求解相当困难。如果考虑的是长柱体,即假定柱体的长度比截面的特征尺寸大得多,这时,根据Saint-Venant原理,对端面作用有两组静力等效(即合力、合力矩相等)的载荷,那么离端面较远处两者所产生的应力相差无几。此外,在工程实际中,端部准确的应力分布资料也难以得到,一般只能获得合力和合力矩的数值。因此,通常将端面的严格边界条件用合力、合力矩给定的放松边界条件来代替。在
上,()可换成
()
这里为给定的合外力, 为给定的关于形心的合外力矩。类似地,在上有类似的等式。条件()称为Saint-Venant意义下的放松边界条件,也可简称为Saint-Venant边界条件、或放松边界条件。不难证明,如果平衡方程(),侧面边界条件()和的条件()成立,那么的合力、合力矩条件将自动满足。
由() () ()构成了弹性力学所特有的边值问题,即所谓放松边界条件的边值问题,通常称为“Saint-Venant问题”。大家知道,具有同样合力合力矩的外力分布有无穷多种,于是Saint-Venant问题的解应有无穷多个。Saint-Venant (1855)利用半逆解法求出了其中的一个解。依照Saint-Venant原理,Saint-Venant所求出的这个解,有足够的精度代表那无穷个解。此外,所谓“半逆解法”是依据问题的特性,通过某种物理考虑,或某种数学推测,预先对应力和位移分量作某些假定,如果这些假定与边值问题的方程和边界条件相容,就可求出一个真解来。合理的假定将给求解带来很大的方便。
§2. 问题的分类
  由于我们所考虑的是线性弹性力学问题,因此可根据端部合力合力矩的情况,将Saint-Venant问题作下述分解:
     简单拉伸      
     纯