文档介绍：第十七讲
哈密顿函数
本讲导读
广义动量守恒原理
哈密顿函数
非完整系统的动力学
拉格朗日动力学的推广
如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标q, 即L/  q=0, 这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标). 于是, 拉格朗日方程()给出
即广义动量守恒
如果循环坐标是系统的整体平移坐标, 拉格朗日函数不包含整体平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的, 广义动量守恒原理就归结为动量守恒原理. 若拉格朗日函数不包含整体转动坐标, 拉格朗日函数L对于整体转动不变, 拉格朗日函数是各向同性的, 则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理. 在矢量力学中, 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件(内力的矢量和为零, 内力的力矩和为零), 而广义动量守恒原理则并不以牛顿第三定律先决条件.
一、广义动量守恒原理
例1 质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上, 质量为m的光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下. 求这两个楔子的加速度.
解: 大楔子在水平方向运动, 小楔子在大楔子斜边上运动. 系统有两个自由度. 取桌面上的固定点O, 大楔子质心相对于O点坐标记作X. 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜边的坐标记作q, X和q可作为系统的广义坐标.
主动力是两个楔子所受的重力, 大楔子的势能在运动过程中不起变化, 可以不考虑. 只要讨论小楔子的势能就够了. 计算动能的时候要注意, 小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的, 而目还有随着大楔子在水平方向运动的速度.
于是, 拉格朗日方程给出运动方程
大楔子的加速度以及小楔子相对于大楔子的加速度为
拉格朗日函数L是时间、广义坐标和广义速度的函数, L的时间变化率
在主动力全是保守力的情况下, 利用完整系统的拉格朗日方程把L/  q改写, 即得
这样
二、哈密顿函数守恒原理
定义哈密顿函数
如拉格朗日函数L不是时间显函数, 哈密顿函数H守恒
哈密顿函数是什么?
因为坐标变换不显含时间, 所以
于是
因为
这样, 我们得到
在坐标变换不显含时间的条件下, 动能是广义速度的二次齐次式, 哈密顿函数就是机械能.
如果约束是不稳定的或者约束是稳定的, 但变换ri=ri(q,t) 显含时间,
广义速度二次函数T2 一次函数T1 零次函数T0
哈密顿函数,
这样, 在变换式显含时间的条件下, 哈密顿函数H并非机械能,只能姑名之为广义能量.
注意: 矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力. 可是, 哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间. 这两种根源是否矛盾呢? 原来, 这两者并不是一回事. 矢量力学所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力, 而拉格朗日函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力, 即只包括主动力, 不包括理想约束力. 可见这两种势能并不相同, 机械能守恒的条件当然也就不同了.