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文档介绍：上次课内容回顾
一、约束及分类:
完整、非完整
定常、非定常
理想、非理想
二、虚位移:
真实位移、可能位移、虚位移、虚功、自由度
可能位移与虚位移的关系
三、广义坐标
Jacobi矩阵
约束、虚位移
第八章分析动力学初步
只考虑完整约束情况。设N个质点组成的系统有l个独立的完整约束:
由隐函数存在定理:若矩阵J的秩为l(即l个约束独立),则由约束方程可唯一的解出
可见系统的位形由3N-l个独立参数完全确定,而不必用3N个。选取3N-l个独立参数时,可以选3N个坐标中的任何3N-l个,也可以选取3N-l个关于的函数,他们相互独立。例如:可取
约束、虚位移
第八章分析动力学初步
如果有: 与相互独立。即矩阵
满秩。于是从及中可唯一地解出
约束、虚位移
第八章分析动力学初步
简记为
因此n个独立的参数完全确定了系统的位形,称之为广义坐标。
若约束都是定常约束,则一定可以选到使
约束、虚位移
第八章分析动力学初步
例8-12 双摆:如图所示。
约束、虚位移
第八章分析动力学初步
选为广义坐标
例8-13 椭圆摆:如图所示
取为广义坐标
广义速度: 广义坐标对时间的导数
广义加速度: 广义坐标对时间的二次导数
四、准坐标、准速度
如果系统除了受l个完整约束外还受到k个非完整约束
根据l个完整约束我们选取为广义坐标,则
约束、虚位移
第八章分析动力学初步
代入非完整约束式可得
可见广义速度之间相互不独立。
约束、虚位移
第八章分析动力学初步
可以选取m=n-k个的函数,例如
如果与组成的方阵是满秩的,
则可唯一解出
约束、虚位移
第八章分析动力学初步
称为准速度。称为准坐标。
注意:准坐标的函数形式一般是不存在的,因为一般不是一个全微分形式,如角速度。
例如:描述刚体运动的角速度的三个分量,就是三个准速度,它们是欧拉角及其对时间导数的组合。
例8-14 纯滚的球
广义坐标:
非完整约束
选准速度
约束、虚位移
第八章分析动力学初步