lllx8-2 lagrange's equation.ppt

文档介绍：例8-15 建立如图所示系统的运动微分方程。
约束方程为:
上次课问题
由于是任意的,可以得出运动微分方程:
若约束仅为绳不可伸长,怎么办?
§8-2 第二类拉格朗日方程及其应用
一、第二类拉格朗日(Lagrange)方程
用广义坐标表示的完整系统的动力学普遍方程。
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
对于完整系统,如果用3N个笛卡儿坐标描述,由于3N个坐标受约束而不能独立变化,任何一组虚位移都不是独立的;如果用n个广义坐标描述,由于广义坐标是独立的,任何一组虚位移都是独立的。
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
因此,如果我们将动力学普遍方程
借助关系式表示成
则由的独立性可得n个独立方程:
具体写出的形式,就是第二类拉格朗日方程。
简称拉氏二类方程/ 拉格朗日方程/ 拉氏方程。
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
下面就是具体推导Lagrange方程的过程:
由可得:
下面具体写出
称为对应广义坐标的广义力。
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
下面证明
下面证明
利用分部积分
其中为系统的动能。
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
由可得:
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
这就是第二类Lagrange方程。
思考题:第二类Lagrange方程的适用条件是什么?为什么?
约束:理想、完整。
二、广义力的求法
(1)按定义(解析法)
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
例8-17 双摆如图所示。设A、B球质量为,杆OA、AB无质量。若取角和为广义坐标,求相应的广义力
解:主动力
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
解:在两个杆上分别任取一点,它们受主动力为
Lagrange方程
第八章分析动力学初步
例8-18 在上个例子中,若两个均质杆的质量分别为,小球无质量,求广义力