文档介绍：1. 质点运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
力的函数中不包括其他质点的位置和速度
质点的运动微分方程
§3-2 质点运动微分方程
线性:力是位置和速度的线性函数,有一般的解法,线性方程只是实际问题中的少数情况.
非线性:力是位置和速度的非线性函数,无一般的解法,实际问题中大多数是非线性的.
如果能求出解析解, 其通解中应有6个积分常数, 它们由初条件时和确定.
根据问题的特点选用不同的坐标系很重要!
§3-2 质点运动微分方程
将运动微分方程作一次积分, 得到一阶微分方程
该一阶微分方程称为质点运动微分方程的运动积分, 积分常数由初始条件确定.
从数学上看, 找到运动积分使运动微分方程由二阶微分方程降为一阶微分方程, 有利于求解.
从物理上看, 第一积分对应着某个运动守恒量, 可能有明确的物理意义.
我们常利用物理意义明确的第一积分, 如动量守恒、角动量守恒和机械能守恒等, 以达到简化问题求解过程的目的.
2. 质点运动微分方程的运动积分(初积分或第一积分)
§3-2 质点运动微分方程
3. 约束牛顿力学中力的分类
(1) 约束的概念和约束方程
约束是预先给定的、由约束物给出的对力学系统运动的限制.
质点受到约束, 其自由度减少.
(2) 约束力和主动力
约束是通过约束物实现的, 为强制质点满足约束条件, 约束物与质点间有力的相互作用, 称约束物对质点施加的力为约束力(或称为约束反力, 约束反作用力).而把质点所受的, 除约束力之外的其他力称为主动力(叫非约束力可能更准确).
§3-2 质点运动微分方程
(3) 在牛顿第二定律中主动力和约束力的地位是平等的
弹性力:弹簧弹性力、绳的张力、面的支撑力
例题1 (1) 约束方程
或
主动力已知力的函数,约束力是未知的.
约束力
主动力
§3-2 质点运动微分方程
(2) 约束方程
主动力
约束力
空气阻力也是主动力
§3-2 质点运动微分方程
4. 自由质点的动力学方程组及例题
例题2 实验表明,阻力与速率一次方成正比的规律仅适用于速度量级为10-2m/s的极其缓慢运动。一般情况下,阻力与速率平方成正比的规律较符合实际情况。但此时方程是非线性的,求解析解很复杂。采用简单的情况进行讨论,虽然不完全符合实际,但仍能了解有阻力情况下抛体运动的一些共同特征。
即
§3-2 质点运动微分方程
讨论(1) 时, ,
(实际以落地为止).
(2)轨道方程
§3-2 质点运动微分方程
与无阻力情况轨道比较
泰勒展开
§3-2 质点运动微分方程