文档介绍：运动学
第六章刚体的基本运动
    刚体的运动按照其特征可以分为平动、定轴转动、平面运动、定点运动和一般运动等形式。一般情况下,运动刚体上各点的轨迹、速度和加速度是各不相同的,但彼此间存在着一定的关系。研究刚体的运动,包括研究刚体整体运动的情况和刚体上各点的运动之间的关系。
    本章研究刚体的两种基本运动:平动和定轴转动。这两种运动都是工程中最常见、最简单的运动,也是研究刚体复杂运动的基础。
第一节 刚体的平动
一、刚体平动的定义
    刚体运动时,若其上任一直线始终保持与它的初始位置平行,则称刚体作平行移动,简称为平动或移动。工程实际中刚体平动的例子很多,例如,沿直线轨道行驶的火车车厢的运动(见图6-1a);振动筛筛体的运动(见图6-1b)等等。刚体平动时,其上各点的轨迹如为直线,则称为直线平动;如为曲线,则称为曲线平动;上面所举的火车车厢作直线平动,而振动筛筛体的运动为曲线平动。
图6-1
二、刚体平动的特点
    现在来研究刚体平动时其上各点的轨迹、速度和加速度之间的关系。
    设在作平动的刚体内任取两点A和B,令两点的矢径分别为rA和rB ,并作矢量BA,如图6-2所示。则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知:
    由于刚体作平动,线段BA的长度和方向均不随时间而变,即BA是常矢量。因此,在运动过程中,A、B两点的轨迹曲线的形状完全相同。
图6-2
    把上式两边对时间t连续求两次导数,由于常矢量BA的导数等于零,于是得
    此式表明,在任一瞬时,A、B两点的的速度相同,加速度也相同。因为点A、B是任取的两点,因此可得如下结论:刚体平动时,其上各点的轨迹形状相同;同一瞬时,各点的速度相等,加速度也相等。
    综上所述,对于平动刚体,只要知道其上任一点的运动就知道了整个刚体的运动。所以,研究刚体的平动,可以归结为研究刚体内任一点(例如机构的联接点、质心等)的运动,也就是归结为上一章所研究过的点的运动学问题。
第二节 刚体的定轴转动
一、刚体的定轴转动
1. 刚体定轴转动的定义
    刚体运动时,若其上有一直线始终保持不动,则称刚体作定轴转动。该固定不动的直线称为转轴或轴线。定轴转动是工程中较为常见的一种运动形式。例如电机的转子、机床的主轴、变速箱中的齿轮以及绕固定铰链开关的门窗等,都是刚体绕定轴转动的实例。
2. 刚体的转动方程
    设有一刚体绕固定轴z转动,如图6-4所示。为了确定刚体的位置,过轴z作A、B两个平面,其中A为固定平面;B是与刚体固连并随同刚体一起绕z 轴转动的平面。两平面间的夹角用φ表示,它确定了刚体的位置,称为刚体的转角。转角φ的符号规定如下:从z轴的正向往负向看去,自固定面A起沿逆时针转向所量得的φ取为正值,反之为负值。
    定轴转动刚体具有一个自由度,取转角φ为广义坐标。当刚体转动时, 随时间t变化,是时间t的单值连续函数,即
(6-1)
    该方程称为刚体定轴转动的转动方程,简称为刚体的转动方程。
图6-4
3. 角速度和角加速度
    角速度表征刚体转动的快慢及转向,用字母ω表示,它等于转角φ对时间的一阶导数,即
(6-2)
    单位为rad/s(弧度/秒)。
    角加速度表征刚体角速度变化的快慢,用字母α表示,它等于角速度ω对时间的一阶导数,或等于转角φ对时间的二阶导数,即
(6-3)
    单位为rad/s2(弧度/秒2)。
    角速度ω、角加速度α都是代数量,若为正值,则其转向与转角φ的增大转向一致;若为负值,则相反。
    如果ω与α同号(即转向相同),则刚体作加速转动;如果ω与α异号,则刚体作减速转动。
    机器中的转动部件或零件,常用转速n(每分钟内的转数,以r/min为单位)来表示转动的快慢。角速度与转速之间的关系是
(6-4)
4. 匀变速转动和匀速转动
    若角加速度不变,即ω等于常量,则刚体作匀变速转动(当ω与α同号时,称为匀加速转动;当ω与α异号时,称为匀减速转动)。这种情况下,有
(6-5)
(6-6)
(6-7)
    其中ω0和α0分别是t = 0时的角速度和转角。
    对于匀速转动,α=0,ω=常量,则有
(6-8)
二、转动刚体内各点的速度和加速度
    刚体绕定轴转动时,转轴上各点都固定不动,其它各点都在通过该点并垂直于转轴的平面内作圆周运动,圆心在转轴上,圆周的半径R称为该点的转动半径,它等于该点到转轴的垂直距离。下面用自然法研究转动刚体上任一点的运动量(速度、加速度)与转动刚体本身的运动量(角速度、角加速度)之间的关系。
1. 以弧坐标表示的点的运动方程
    如图6-5所示,刚体绕