文档介绍：初中数学竞赛专题选讲（初三．3）
配方法
一、内容提要
配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±２ａb＋ｂ2写成完全平方式
（a±b)2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式．
常用的有以下三种：
①由ａ2+b２配上2ab， ②由２ ab配上a2+ｂ２, ③由a２±2ab配上ｂ2.
运用配方法解题,初中阶段主要有：
用完全平方式来因式分解
例如:把x４+4 因式分解。
原式=x4+４＋4x２－4x2=（x2+2）2－4ｘ2=……
这是由a２+ｂ2配上2ab.
二次根式化简常用公式：,这就需要把被开方数写成完全平方式．
例如:化简．
我们把５—2写成 2-２＋３
=-2+
=（-)2.
这是由２ aｂ配上a2＋ｂ2.
求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，∵a2≥0， ∴当a=0时， a2的值为0是最小值。
例如:求代数式a２+２ａ—2 的最值.
∵a２＋２a-２= a2＋2a+1－3=（ａ+1)２—３
当ａ=-1时, a２+2a—2有最小值—３.
这是由a２±2aｂ配上ｂ2
有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零,有时就需要配方.
例如：：求方程ｘ2＋y２+2x-4y+5=0 的解x， y.
解:方程x２+y２+2x－４y+1+４=0。
配方的可化为 (x＋１）2+(y－2）２=0．
要使等式成立，必须且只需。
解得
此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时,也常要有配方的知识和技巧。
二、例题
因式分解：a2ｂ２-a２+4aｂ－b2+1。
解:a2ｂ２—a2＋4aｂ－b２+１=a2b2+2aｂ+1+(－a２+2ab—b2) （折项，分组)
＝(aｂ+1)2－(a-b)2 （配方）
=（ab+1＋a-b)(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）
本题的关鍵是用折项，分组,树立配方的思想．
化简下列二次根式:
①； ②； ③。
解:化简的关键是把被开方数配方
①==
==２+.
②＝＝＝
＝＝．
③=
＝
＝＝=
=２－.
求下列代数式的最大或最小值:
① x2+5x+1; ② －２x２-6x＋1 。
解:①x２＋5x＋1＝x2+2×x+－+1
＝（x+）２－。
∵(x+)２≥0，其中０是最小值。
即当x=时,ｘ2+５x＋1有最小值－。
②－2x２－6x+１ =－２（ｘ2+3x－)
=－2（x2+２×x＋－)
=－2(x+）2＋
∵—２（x+)2≤０，其中0是最大值，
∴当x＝－时,－2x2-６ｘ+1有最大值。
解下列方程:
①x4—x2+２xy+y２+１=0 ； ②ｘ２+2xy+６x+2ｙ2+4y+10=0。
解：①(x4－2ｘ２+1)＋(ｘ2+２xy+y2）=0 。 (折项,分组）
（ｘ２—1）2+(x+y）2=0. (配方)
根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”。
得
∴ 或
②ｘ２＋2xｙ+ｙ２+６ｘ+６y+9+y2－２ｙ+１＝0 。 (