文档介绍：有限域的特征
特征的含义
无零因子含幺环的特征: 0 或者素数
素域： Q 和 Z/(p) = {0,1,…, p 1}
定理设F 是域, P 是 F 的素域.
若char F = p, 则 P  Z/(p).
若char F = 0, 则 P  Q.
有限域的特征是素数
无限域的特征一定是 0 吗？
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有限域的元素个数
特征为 p的有限域F 都是Fp上的有限（维数）扩张。
|F | = pn, n = [F: Fp].
任意给定素数 p和正整数n, 是否一定存在 pn元有限域？
如何构造有限域？
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有限域的存在性与唯一性
存在性
定理对每个素数 p和每个整数n, 存在 pn元有限域.
证明
q = pn, F是xq x在Fp上的分裂域.
S = {aF | aq a =0}
S = F.
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唯一性
定理设F 是q = pn元有限域, 则 F 是同构于xq x在Fp上的分裂域.
q元有限域记为Fq
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Characterization of Finite Fields
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子域的存在唯一性
定理设q = pn , 若E是Fq的子域，则|E | = pm, 其中m是n的正因子；反之，若m是n的正因子，则Fq 有唯一的 pm元子域。
例： F230的全体子域
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设 f(x)是Fp上的 n次不可约多项式
Fp[x]中的同余关系
a(x)  b(x) mod f(x)  f(x) | a(x)  b(x) over Fp
任意给定的g(x) Fp[x]与Fp[x]中某个次数小于n的多项式（包括0）同余
g(x) = f(x) q(x) + r(x), r(x) = 0 或deg(r(x)) < n
g(x)  r(x) mod f(x)
Fp[x]模 f(x)的全体两两不同余的代表元为
{r(x) Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n }
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pn
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设 f(x)是Fp上的n次不可约多项式
F = {r(x)Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n }
多项式的加 : g(x) + h(x)
模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x))
是否域？
F关于加法构成群
F\{0}关于乘法构成群
F是 pn元有限域
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Fp[x]/(f(x))  F
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16元有限域F24
f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
F = ({0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x , x2 + x +1 , x3 , x3+1 ,
x3 +x , x3 + x +1 , x3+ x2 , x3 + x2 +1 , x3 +x2 +x ,
x3 + x2 +1}, +, mod f(x) )
F2[x]/(x4 + x +1)  F
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(x2 + x) + (x3 +x +1) = x3 +x2 +1
(x2 + x)  (x3 +x +1) = x3 +x2 +x+1
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16元有限域F24
f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
g(x) = x4 + x3 +1是F2上的不可约多项式
F2[x]/(f(x))  F2[x]/(g(x))
能否给出同构映射？（作业）
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Fp上n次不可约多项式的存在性
定理记有限域Fq的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运算是循环群.
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