文档介绍：§ 矩阵的秩
那么称为矩阵的最高阶非零子式PPT讲座
2021/1/25
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一、子式
定义
在矩阵中，任取行与列，
位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在
中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.
例如
是的一个2阶
子式，的2阶子
式共有
个.
一般地，矩阵的阶子式共有个.
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二、矩阵的秩
定义
设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数
称为矩阵的秩，记作或 .
规定：零矩阵的秩等于0.
例1 求矩阵和的秩.
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在中，容易看出一个2阶
子式
的3阶子式只有一个
因此
在中，
由于它是行阶梯形
矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零，
因此
这里的两个行列式分别是和的最高阶非零子式
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说明
根据行列式的展开法则知，在中当所有阶
子式全为零时，所有高于阶的子式也全为0，
因此把阶非零子式称为最高阶非零子式；
矩阵的秩就是中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
当矩阵中有某个阶子式不为0，则
当矩阵中所有阶子式都为0，则
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矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.
对于阶矩阵，当时，称为满秩
矩阵；否则称为降秩矩阵.
由于阶矩阵的阶子式只有一个，当
时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.
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三、矩阵的秩的计算
定理
若，则
即两个等价矩阵的秩相等.
说明
根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用
初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩
阵中非零行的行数即是矩阵的秩.
证明
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所以
大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换
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例2 设
求矩阵的秩，并求的一个最高阶非零子式.
解
析：根据定理，为求的秩，只需将化为
行阶梯形矩阵.
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再求的一个最高阶非零子式.
因此
在中,找一个3阶非零子式是比较
容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式
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