文档介绍：§
子式
定义在mx矩阵A中,任取行与列(ksm,≤p
位于这些行列交叉处的k个元素,不改变它们在
A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为
矩阵A的k阶子式
例如
D是A的一个2阶
453
62|子式,A的2阶子
A=
6
D=
811式共有C3C2=18
81711
个
一般地,mxn矩阵A的k阶子式共有CCn个
E、矩阵的秩
定义设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子
式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等
于零,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数
r称为矩阵的秩,记作R(A)或r(A)
规定:零矩阵的秩等于0
例1求矩阵A和B的秩
3
A
237
B
2000
0043
0000
在A中,容易看出一个2阶
子式
A=23-5
D=
1≠0
47
03
A的3阶子式只有一个A=0,|0
因此R(A)=2
B
在B中,由于它是行阶梯形
00000
矩阵,容易看出它的4阶子式
全为零,而以三个非零行的
首非零元为对角元的3阶子式
不等于零,2-13
这里的两个行列
式分别是郄的
03-2|=24≠0
最高阶非零子式
004
因此R(B)=3.
说明
ˇ根据行列式的展开法则知,在A中当所有r+昐阶
子式全为零时,所有高于r+1阶的子式也全为0,
因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式;
√矩阵A的秩就是A中不等于零的子式的最高阶
数,这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征;
√当矩阵A中有某个S阶子式不为0,则R(A)≥s;
当矩阵A中所有t阶子式都为0,则R(A)<t;
ˇ矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数,这也
可以作为矩阵的秩定义,但是这样定义矩阵的秩
不能清楚表明矩阵的特征
ˇ对于n阶矩阵A,当R(A)=n时,A称为满秩
矩阵;否则称为降秩矩阵
由于阶矩阵A的阶子式只有一个A,当
1A|≠O时,R(A)=
的阶数,可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又
称降秩矩阵
三、矩阵的秩的计算
定理若A~B,则R(A)=R(B)

说明
根据此定理,为求矩阵的秩,只要把矩阵用
初等行变换变成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩
阵中非零行的行数即是矩阵的秩
0-431一
0-1297-11
0-16128-12
3r
0-431-1
r-42|0004
8
0004-8
6
4-14
大多情况下只
用初等行变换
00
8
不用初等列变
换
00
00
140
所以R(A)=3
例2设
32050
A
5-3
16-4-14
求矩阵A的秩,并求A的一个最高阶非零子式
解析:根据定理,为求A的秩,只需将化为
行阶梯形矩阵
050
nn(16-4-1
0-431
A
15-3|5-25|0-1297-11
0-16128-12