文档介绍：第6章稳定性模型
捕鱼业的持续收获
产量模型记时刻t渔场中鱼量为x(t),关于x(t)的自然增长和人工捕捞作如下假设:
1. 在无捕捞条件下x(t)的增长服从Logistic规律,即
, (1)
其中r是固有增长率,N是环境允许的最大鱼量,f(x)表示单位时间的增长量.
2. 单位时间的捕捞量(即产量)h与渔场鱼量x(t)成正比,比例常数k表示单位时间捕捞率. k可分解为k = qE,E称捕捞强度,用可以控制的参数譬如出海渔船数来度量; q称捕捞系数,表示单位强度下的捕捞率,为方便起见,可以适当选择捕捞强度的单位,使q = 1. 于是单位时间的捕捞量为
h(x) = kx = qEx = Ex. (2)
记F(x) = f(x) - h(x),得渔场鱼量满足微分方程
. (3)
希望通过此方程求出渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向,并由此确定最大持续产量. 因为当时x保持为常数,故求方程(3)的平衡点(使的x)并分析其稳定性. 令
得到两个平衡点
x0 = N(1 - E/r), x1 =0. (4)
注一阶微分方程的平衡点及稳定性:
代数方程f(x) = 0 的实根x = x0称为所给微分方程的平衡点(或奇点),它也是微分方程的解(奇解).
如果从所有可能的初始条件出发,微分方程的解x(t)都满足
x(t)àx0 (tà¥),
则称平衡点x0是稳定的,否则称x0是不稳定的.
平衡点的判断:若f '(x0) < 0,则x0是稳定的,若f '(x0) > 0,则x0是不稳定的.
(详见§, p198,下节介绍)
不难算出
最大持续产量的图解法
F '(x0) = E - r, F '(x1) = r -E,
由稳定性理论,当
E < r (5)
时,x0是稳定的,x1不稳定; 当E > r时,结果正好相反. 当捕捞强度E大于鱼量
x的自然增长率r时, 显然鱼量会越来越小直至灭绝(x = 0).
下面讨论渔场鱼量稳定在x0的前提下,如何控制捕捞强度E使持续产量达到最大的问题. 注意捕捞量h(x0) = Ex0满足
h(x0) = rx0(1 - x0/N),
当
x0 = N/2 (6)
时h(x0)达到最大值hm为
hm = rN/4, (7)
由hm = Ex0, hm = rN/4, x0 = N/2, 这时E为
E* = r/2. (8)
也可用图解法. 由
,
作y = rx(1 - x/N)和y = Ex的图形, 其交点的横坐标即为稳定点x0(> 0)或x1(= 0), 其纵坐标为相应的捕获量h = Ex. 当直线y = Ex通过抛物线y = rx(1 - x/N)的顶点时,h达到最大为rN/4,这时x = N/2.
效益模型从经济角度来看应追求效益最大. 如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量. 简单地假设:鱼的销售单价为常数p,单位捕捞强度(如每条渔船)的费用为常数c,则单位时间的收入T和支出S分别为
T = ph(x) = pEx, S = cE, (9)
则单位时间的利润R为
R = T - S = pEx - cE. (10)
在稳定条件x = x0下,把(4)式x0 =