文档介绍：第卷第期高等函授学报自然科学版..
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· 大学教学·
不定积分与定积分第二类换元法的讨论
高大维冯世强崔宇陈友军。
.中南大学地球科学与信息物理学院,长沙;.西华师范大学数学与信息学院,四川南充
摘要:通过对不定积分与定积分第二类换元法的两种形式进行比较,以题为例着重探讨了
不定积分与定积分第二类换元法在解题中的联系与区别。
关键词:不定积分;定积分;第二类换元法;联系;区别
中图分类号: 文献标识码: 文章编号:—一—
一元函数积分学主要解决两个问题,一个是
￡￡。
已知一个函数求原函数问题,这是不定积分的计
教材脚注:当￡的值域超出了区间,
算;另一个问题是定积分的计算问题。换元法尤
其是第二类换元法是解决这两类计算问题的一,定理的结论仍然有可能成立。因为只要一
￡的值域包含在被积函数厂的连续范围
个重要方法,现行的《高等数学》、《微积分》教材中
关于不定积分和定积分第二类换元方法的表述内,并且在区间端点有一口和—,定
如下: 理的证明照样能满足。
两种换元法的联系与区别
关于不定积分的第二类换元法
设一￡是单调、可导的函数,并且. 不定积分与定积分换元法条件的区别
≠,又设,￡￡具有原函数,则有换元公在不定积分换元法的最后一步,要用变换
式一￡和逆变换一还原变量,因此所
引进的变换￡必须保证它的逆变换一
厂一『尢∽, 存在。这就要求一妒在相应的区问
其中是函数一￡的反函数。此上是单调的。而且还原以后的函数
换元方法可用形式计算法书写如下必须是可微的,为此必须要求反函数的导
￡咖￡数是存在的,这就要求变换一
的导数在相应的区间上不等于零,即≠。

尢妒—总之,只要我们在利用第二类换元法进行不
—。定积分计算时选择的变换一￡在的某一区
关于定积分的换元法问单调、可微,导数连续,并且￡≠即可。而
设厂在区间,上连续, 一在在定积分的换元法中则不要求变换一在
区间, 或区间,上有连续导数,其值相应的区间上的单调性。这是因为通过换元法写
域包含于口,,
,则上下限后,就可以直接求出定积分,而不定积分的
收稿日期:—.
基金项目:四川省教育厅青年基金项目,项目编号:.
作者简介:高大维一,男,级地球信息科学与技术专业在校本科生.
通讯作者:冯世强,讲师,研究方向:高等数学教学与优化理论及应用.
第卷第期高等函授学报自然科学版..
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计算最终要进行变量还原。请看下面的例题。方式相当于不定积分的第二类换元积分法;从右
端推到左端的方法相当于不定积分的第一类换元
例计算定积分/口一。口.
积分法,即凑微分法。
解法令,则: ,当
例求定积分。。。
一时当口时一,于是
解对积分作如下变形
一
孚。。一一一
解法令—,则/,当

一时￡一当一口时￡一,于是令:,因为当一时一,当一
二一警口.。￡.口.。￡要时一,于是

一一
: —。
注如果不明显地写出新变量,那么定积分
此解法中,变量—￡在, 中不单的上下限就不要变更,如式。
调,没有反函数,且此时的