文档介绍：量纲分析法建模
物理量的量纲
长度 l 的量纲记 L=[l]
质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中基本量纲
M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1
导出量纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=MLT-2
万有引力常数 G 的量纲 [G]
对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
=[f][l]2[m]-2=M-1L3T-2
1
量纲齐次原则
等式两端每一项的量纲必须一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
2
例：单摆运动
l
mg
m
求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
对比
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设 f(q1, q2, , qm) = 0
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
Pi定理 (Buckingham)
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,  , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2,  , qm 的量纲可表为
量纲矩阵记作
线性齐次方程组
有 m-r 个基本解，记作
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
则
4
[l] = L, [v] =LT-1, [] = ML-3, [p] = ML-1T-2, [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
量纲分析示例：管道内不可压缩粘性流体的压强差
管道两端压强差 p
管道长l, 流速v, 粘性系数,密度重力加速度g。
m=6, n=3
选取物理量
5
Ay=0 有m-r=3个基本解
rank A = 3
rank A = r
Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
6
F(1, 2 ,3 ) = 0与
(l,v,,p,,g) = 0 等价
为得到差 p 的显式表达式
F=0
 未定
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
7
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
m=6, n=3
8
Ay=0 有m-r=3个基本解
rank A = 3
rank A = r
Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
9
F(1, 2 ,3 ) = 0与
(g,l,,v,s,f) = 0 等价
为得到阻力 f 的显式表达式
F=0
 未定
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
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