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题目浅析数学分析中的若干矛盾
指导老师年级
专业数学与应用数学
系别数学系
学院
摘要 1
关键词 1
1常量与变量 1
2离散与连续 3
3整体与局部 5
4 一与多 7
5有限与无限 9
6曲与直 11
7积分与微分 13
8结束语 14
参考文献 14
外文摘要 15
浅析数学分析中的若干矛盾
摘要：恩格斯说：“纯数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系”.即数学是研究“数”和“形”，研究和领会各个矛盾的对立统一关系，要矛盾进行比较与分析，着重阐述常量与变量，离散与连续，整体与局部，有限与无限, 一与多，直与曲，微分与积分等矛盾在数学分析中的体现.
关键词：数学分析矛盾对立统一
恩格斯在《反杜林论》中指出：“高等数学的主要基础之一，就是矛盾……”，列宁在《黑格尔〈哲学史讲演录〉一摘要》中指出：“就本来的意义讲，辩证法是研究对象的本质自身中的矛盾•”在数学分析的学****中，是否能深刻认识数学分析中的矛盾现象, 能否深入研究各个矛盾中的对立统一关系，就成为领会和掌握数学分析的精髓的关，如常量与变量，有限与无限，离散与连续，微分与积分，一元与多元等等•本文仅就几个主要矛盾予以讨论.
1常量与变量
变量是运动的，不断变化的量；常量是不变的，于任何事物都是运动的，因此，，变量又通，常量与变量可相互转化，用这个重要思想，我们解决了数学分析中的许多重要的基本理论问题• 例如，我们知道定积分是作为一种特殊的无穷和而定义的.
［a,b］±的一个函数，丿是一个确定的实数•若对任给的正数£,总存在某一正数3,使得对的任何分割T,以及在其上任意选取的点集｛纟｝,只要|『||<3,就有
比—J <£,
则称函数/在区间［a,b］±可积或黎曼可积；数丿称为/在［a,b］±.的定积分或黎曼积分，记作
其中，于称为被积函数，兀称为积分变量，［a,b］称为积分区间，a , b分别称为这个定积分的下限和上限.
当积分函数和积分区间给定以后，，积分值随之变化，从而引入了积分上限函，得到了微积分基本定理，该定理反过来把变量转化为常量, 最终得到牛顿一莱布尼兹公式.
/■在[a,b]±.连续，且存在原函数F,即F'(x) = Mx), [a,b],
则/■在[a,刃上可积，且
这一划时代的伟大成果正是由常量与变量的对立统一关系导出的.
充分利用常量与变量的辩证思想，常常能是某些数学问题得到很好的解决.
(泰勒(Taylor)中值定理)如果函数/'(x)在含有心的某个开区间(a,b) 内具有直到(« + 1)阶的导数，则当x在(a,b)内时，/'(X)可以表示为(x-x0)的一个多项式与个余项R”(x) Z和.
f (x) = f (x0) + f'(x0)(x-x0)+ 了严)(x-x0)2 +•••+ 了(x — X。)" + 7?”(x)
2! nl
r(n+l)/ 其中心(X)=丄—空(%-xor+i,这里纟是兀与兀。之间的某个值.
(x +1)!
在这个定理的证明中，可将函数/'(X)的"次泰勒多项式：
f(x) = f(x0) + f,(x0)(x- x0) + f [ j) (x — X。)2 + …+ f 字)(x - x())"
2! nl
的项换为t而得
f(")(八 /(0 - / (r) +广(r)(兀 _r)+ (兀—r)? + ••• + —-—(兀
2! nl
在上式中把原来的变量兀视作常量，而把原来的兀°变成变量T，则有
nl
由此证得泰勒中值定理.
乂如在数列极限s-N定义说明了在•定条件下，变量可以向常量转化.
｛*”｝是一给定数列，£〉0,可以找到自然数N,使得当n>N时，成立
卜” -a|<£，
则称数列收敛于a (或是a是数列｛x”｝的极限)，记为
lim xn= a
n—>oo
有时也记为
xn T a, (” T 8)