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高等数学容斥原理公式.doc

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高等数学容斥原理公式.doc

文档介绍

文档介绍:n(A1∪A2∪∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m-∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m+∑n(Ai∩Aj∩Ak)-…+(-1)^m-1)n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m
  两个集合的容斥关系公式:A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分)
  三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
  详细推理如下:
  1、 等式右边改造 = {【(A+B - A∩B)+C - B∩C】 - C∩A }+ A∩B∩C
  
  
2、文氏图分块标记如右图图:1245构成A,2356构成B,4567构成C
  3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:
  那么A∪B∪C还缺部分7。 
  4、等式右边【】号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分,
  减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。 
  5、等式右边{}里减去C∩A (即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5,
  则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。
编辑本段容斥原理1
  如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B = A+B - A∩B )
  例1 一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
分析
  依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案
  15+12-4=23
试一试
  电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人?
  100-(62+34-11)=15
编辑本段容斥原理2
  如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)
例2
  某校六(1)班有学生45人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人?
  分析:参加足球队的人数25人为A类元素,参加排球队人数22人为B类元素,参加游泳队的人数24人为C类元素,既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人,既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人,既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人,三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意:这个题说的每人都参加了体育训练队,所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。
  答案:2

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